Résidu

[slayer191]

Bonjour , jai une question concernant l'analyse complexe on me donne une fonction

f1(z)= (z-1)²sin(2/z-1)

on me demande de calculer le résidu de la fonction au point 1 qui est un point singulier essentiel. pourriez vous m'aider svp merci

[jlb]

Ecris le dl de Laurent de f1 en 1, tu dois trouver -4/3 si je n'ai pas commis d'erreur

[jlb]

écris le dl de Laurent de f1 en 1, tu dois trouver -4/3 si je n'ai pas commis d'erreur.

[Pythales]

Bonjour , jai une question concernant l'analyse complexe on me donne une fonction

f1(z)= (z-1)²sin(2/z-1)

on me demande de calculer le résidu de la fonction au point 1 qui est un point singulier essentiel. pourriez vous m'aider svp merci

f1 tend vers 0 lorsque z tend vers 1

[jlb]

f1 tend vers 0 lorsque z tend vers 1

????????????????????

[barbu23]

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Je pense qu'il a raison si je ne m'abuse, car :

non ?

[jlb]

Je pense qu'il a raison si je ne m'abuse, car :

non ?

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[barbu23]

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Je voulais dire que n'est pas un point singulier essentiel d'après l'argument que j'ai donné. :happy3:
Donc, c'est contraire à ce que dit @slayer131. :happy3:

[jlb]

Je voulais dire que n'est pas un point singulier essentiel d'après l'argument que j'ai donné. :happy3:
Donc, c'est contraire à ce que dit @slayer131. :happy3:

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[barbu23]

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

est bornée au voisinage de , donc, n'est pas une singularité essentielle. :happy3:

[barbu23]

est bornée au voisinage de , donc, n'est pas une singularité essentielle. :happy3:

[jlb]

est bornée au voisinage de , donc, n'est pas une singularité essentielle. :happy3:

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[barbu23]

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[jlb]

f1 tend vers 0 lorsque z tend vers 1

?????????????????????????????????????????

[jlb]

Je pense qu'il a raison si je ne m'abuse, car :

non ?

?????????????????????????????????????

[barbu23]

[si pas d'erreur de ma part, le résidu est - 4/3 ( écrire le développement en série de Laurent de f1)]

Comment tu fais pour trouver ?

[jlb]

Comment tu fais pour trouver ?

tu cherches le développement de f1 en série de Laurent et le résidu est le terme d'indice -1 soit -2^3/3! ( tu utilises pour cela le dl en série entière de sin)

sinon, je crois que des horreurs ont été postés dans des messages précédents (genre, sin est bornée dans le plan complexe ou sinz/z tend vers 1 quand |z| tend vers + infini)
bonsoir.

[barbu23]

tu cherches le développement de f1 en série de Laurent et le résidu est le terme d'indice -1 soit -2^3/3! ( tu utilises pour cela le dl en série entière de sin)

sinon je crois que des horreurs ont été postés dans des messages précédents!!!

A ma connaissance, on n'applique pas le DSE de au voisinage de , parce que au voisinage de , n'a pas de limite, non ?

Edit : cela remonte à plus de ans que je ne fais pas d'analyse complexe, que dans de rares occasions, depuis que j'étais en .

[Doraki]

z -> z² sin(2/z) est holomorphe sur C*, donc son résidu en 0 vaut, par définition,
R = 1/2ipi * intégrale sur une boucle (n'importe laquelle) autour de 0 de z² sin(2/z) dz.

On regarde les cercles de rayon r où r -> l'infini, et on obtient, en écrivant le DL de sinus en 0 :

Pour tout r>0,
R = 1/2ipi * intégrale sur le cercle |z|=r de 2z - 4/3z + O(z^-3) dz
= 1/2ipi * (0 - 2ipi*4/3 + O(r^-2))
= -4/3 + O(r^-2)
= -4/3

[barbu23]

On regarde les cercles de rayon r où r -> l'infini, et on obtient, en écrivant le DL de sinus en 0 :
Pour tout r>0,
R = 1/2ipi * intégrale sur le cercle |z|=r de 2z - 4/3z + O(z^-3) dz
= 1/2ipi * (0 - 2ipi*4/3 + O(r^-2))
= -4/3 + O(r^-2)
= -4/3

Je ne comprends pas ce passage malheureusement. :mur:
Tu peux me l'expliquer ?
Pourquoi tu utilises le DL au voisinage de du sinus.
D'où vient cette formule : R = 1/2ipi * intégrale sur le cercle |z|=r de 2z - 4/3z + O(z^-3) dz ??? :mur: