Representation dual

[Patrick.p]

bonjour,
j'ai plusieur question en une seul:
La premier on introduit, V un espace vect sur C (complex)
apres V* le dual, V* = Hom(V,C)
Et la on me dis que j'ai naturellement la forme bilinaire :
= v*(v) appartient a C.

Deja la j'ai pas bien compris si on définie juste cette aplication bilinaire enfin en quoi elle est naturelle...

Ensuite definie la representation µ : G -> GL(V)
V est donc une representation de G
Puis la dual µ* : G -> GL(V*)
définie de la facon suivante : µ*(g) = tranposé de µ (g^-1).

La une deuxiéme fois je suis dans le flou je me souviens plus de pourquoi la transposer elle a un rapport avec le dual, je sais que c'est dans tous les cours mais j'trouve pas pourquoi.

et enfin la question est de montrer que :
<µ*(g)(v*),µ(g)(v)> =

Et la je pense qu'a cause de toutes les interogation du dessus je suis perdu.
Merci si on peu m'aidé un peu, (pas forcément résoudre le probléme sans que j'comprenne rien)

biensur v est dans V, v* est dans V* et g est dans G.

[yos]

Bonjour.
L'étoile est un iso de V dans V* je suppose. C'est une mauvaise notation, car cet iso est pas canonique. Il y a d'autres problème dans ta notation .
Si on note un isomorphisme, on, pose pour x, y dans V : . C'est naturel car est une application linéaire.

Pour l'autre question, quand tu as un endomorphisme, on définit l'endomorphisme transposé par .

La dernière égalité est immédiate avec la propriété de la transposée :

[legeniedesalpages]

Bonjour,

Pour un -espace vectoriel , l'application de dans est une forme bilinéaire sur , et on dit qu'elle est canonique. ( est une autre notation pour désigner le scalaire f(x)).

Du moins c'est ce que dit mon cours.
Si j'ai bien compris, l'avantage de ces formes bilinéaires est qu'elles sont non dégénérées et en particulier en dimension finie on peut voir qu'un espace de dimension finie et son dual jouent des rôles absolument symétriques.

Pour une forme bilinéaire définie sur un produit d'espace , on définit deux applications:

une application linéaire de dans telle que pour tout dans , est la forme linéaire sur , donc . On a alors l'égalité:
[CENTER] pour dans , dans .[/CENTER]
On dit que est l'homomorphisme de dans défini canoniquement par .

On définit de même l'homomorphisme de dans définit canoniquement par .
Et on a l'égalité:
[CENTER] pour dans , dans .[/CENTER]

ici le morphisme correspond au morphisme de yos.

Pour une forme bilinéaire définie sur ,
est non dégénérée équivaut à dire que et sont injectifs.

Si de plus est dégénérée, et est de dimension finie, alors

, et et sont des isomorphismes.

On peut identifier ainsi (en dimension finie) à par , à par .
On considère donc comme le dual de et comme le dual de , vu ainsi,
[CENTER]pour dans et dans
.[/CENTER]

Pour en revenir à la forme bilinéaire canonique de sur .
Les deux morphismes canoniques associés à cette forme sont:
et .

D'après ce qui précède pour dans et dans . Donc est l'identité de .

quant à lui est défini telle que pour tout , est la forme linéaire sur .

En dimension finie, en reprenant (1), on a donc
,
et avec l'étude précédente on peut identifier à , et donc on considère que est le dual de , et est le dual de .

[Patrick.p]

Ok, merci bcp, je vois plus claire je crois j'dois écrire tous ca moi même et ca ira :)
merci