Répétition de jours et mathématiques

par **Anonyme** » 05 Mar 2006, 09:25

Bonjour,

je suis étudiant en lettres Modernes et je prépare les concours IUFM. Il y a cependant un problème que je n'arrive jamais à résoudre et qui revient toujours ... pourriez-vous m'aider à comprendre comment le résoudre ?

On se souvient qu'en 2004 le jour de Noël était un samedi
Quelle(s) affirmation(s) est(sont) exacte(s) :

il en sera de même en 2014
il en sera de même en 2016
En 2017 Noël tombera un lundi
En 2003 Noël tombait un vendredi
En 2003 Noël tombait un jeudi

par **sirglorfindel** » 05 Mar 2006, 09:56

Voici une petite règle de base à retenir : chaque année non bissextile, on avance de 1jour. Par exemple, en 2004, le jour de Noel est un samedi, donc en 2005 (le mois de février qui est passé est 2005, donc pas de 29 février) le jour de noel est un dimanche...

L'explication est simple : l'année compte 365 jours et chaque semaine 7 jours (tous les 7 jours, on retombe sur le même jour). Si on divise 365 par 7 on a :
365=52 fois 7 +1 et c'est ce 1 qui fait avancer d'un jour

Pour les années bissextiles, on avance de 2 jours !

Pour résoudre ton problème, il suffit d'avancer (ou de reculer) année après année :
2005 : dimanche
2006 : lundi
2007 : mardi
2008 : jeudi (2008 est bissextile)...

2003 : jeudi (il faut compter que 2004 est bissextile donc on recule de deux jours)...

J'espère que c'est plus clair

par **Anonyme** » 05 Mar 2006, 10:19

Merci beaucoup ca va vraiment m'aider ! Gràce à toi j'ai enfin compis le mystère des dates ! ;)
Puis-je abuser et poser une autre question ?

Quelle est la somme des chiffres du nombre 100! ?

Car je vois bien que 100! c'est 1*2*3*4 ....
Je pensais qu'en mettant quelque chose dans ce genre :
1*99*2*98*3*97 ... * 49*51 * 50 ...

Mais ca ne m'est d'aucune aide pour savoir la somme de ces nombres

On me donne les choix suivants -et une migraine par la même occasion :D - :
Un multiple de 9 + 1 ou 2
Un multiple de 9 + 3 ou 8
Un multiple de 9 + 4 ou 5
Un multiple de 9 + 5 ou 6
Un multiple de 9

Rassurez moi c'est moi qui suis vraiment mauvais ? Car c'est censé être niveau troisième et je trouve ca assez difficicile à résoudre !

par **sirglorfindel** » 05 Mar 2006, 10:25

Tu sais, quand on dit niveau 3°, c'est simplement que les connaissances utilisées sont du niveau 3° mais il est clair qu'on ne demande jamais ça à des élèves de 3°.

Pour en revenir à ton problème, il y a une petite astuce qui vient des solutions proposées... Pourquoi s'intéresser aux multiples de 9 ?... Tu dois connaitre une règle qui te donne les multiples de 9 : Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ces chiffres est divisible par 9... (il y a d'autres règles de divisibilité dans le même genre)
Ici, il est évident que 100! est divisible par 9 donc la somme de ces chiffres l'est aussi.

PS : attention tout de même, dans ton écriture de 100! tu as oublié de multiplier par 100

par **Anonyme** » 05 Mar 2006, 10:46

Merci encore pour cette réponse si rapide ...
mais j'ai du perdre une étape dans ton raisonnement ...

Tu marques :
Ici, il est évident que 100! est divisible par 9 donc la somme de ces chiffres l'est aussi.

Je connais bien la règle que tu me cites mais l'évidence étant je suppose toute relativisable ... car ben ... comment dire ... ce n'est pas du tout évident pour moi (lol)
Pourquoi 100! serait divisible par 9 ??? J'ai beau torturer ton message dans tous les sens je n'y vois pas clair ;)

Merci beaucoup en tout cas de ton aide précieuse ! (Que les maths se perdent vite ... car on ne dirait pas comme ca mais avant de faire un master de lettres j'ai quand même réussi une terminale S mais alors que celà me semble loin ... mais loin ;) )

par **sirglorfindel** » 05 Mar 2006, 11:01

Dans 100!, il y a bien evidemment 9 :
100! = 1*2*3*...*9*...*100
Comme on multiplie par 9, c'est un multiple de 9

par **Anonyme** » 05 Mar 2006, 11:10

Arf ... vraiment merci ... c'est effectivement logique ;) Bon we !

par **Anonyme** » 05 Mar 2006, 11:17

Bon au risque cette fois de vraiment paraître pour une tâche de la science ... si j'ai bien compris ton explication précédente mon raisonnement suivant est-il bon ?

Un nombre entier positif est tel que lorsqu'on le divise par 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, le reste est à chaque fois 1

A- un tel nombre n'existe pas
B- il existe qu'un nombre fini de nombres ayant cette propriété
C- il existe 144 nombres ayant cette propriété
D- Il existe une infinité de nombre ayant cette propriété
E- Le plus petit nombre ayant cette propriété est strictement inférieur à factorielle 10

E n'est pas possible puisque tout nombre inférieur à factorielle 10 sera divisible par un nombre de 2 à 10 et pas par 11

Je partirais donc sur A puisqu'il ne doit rester que les nombres premiers qui ne soient pas des mutliples de 1 à 12 ... mais un nombre multiple d'un nombre premier ne sera pas divisible par la suite donné précédemment.

Ai-je faux ?

par **sirglorfindel** » 05 Mar 2006, 11:39

je pense uue tu as faux :
pour ce qui est d'exclure E, OK ton raisonnement est bon
Mais par contre il existe au moins un tel nombre :
12!+1=1*2*3*...*12+1
En effet, si tu fais la division par 5 (par exemple mais ça marche pour tous les nombres de 2 à 12) 1*2*..*12 est divisible par 5 (même raisonnement que tout à l'heure pour 9) donc le reste de la division est 0. Comme on ajoute 1, le reste de la division devient 1.

De plus, tu peux prendre n'importe quel nombre de la forme : N*12!+1 (avec N un nombre entier quelconque) et il marchera aussi
donc il y a une infinité de tels nombres : réponse D

par **Anonyme** » 05 Mar 2006, 11:46

Merci beaucoup le mystère des factorielles s'éclaircit gràce à tes lumières ! Et encore merci pour le temps que tu passes un dimanche matin à aider d'autres personnes dans leur compréhension des maths avec tes explications vraiment claires, patientes et pertinentes.

J'espère te recroiser ici si j'ai un autre soucis .. mais espérons que cette fois soit la dernière (j'ose y croire .... :) )

par **sirglorfindel** » 05 Mar 2006, 11:48

pas de problème... c'est vraiment avec plaisir

par **abcd22** » 05 Mar 2006, 14:05

Le raisonnement est faux pour éliminer le E : on ne demande pas au nombre d'être divisible par 11 mais que son reste modulo 11 soit 1, de plus il existe des nombres < 10! qui sont divisibles par 11, comme 11 par exemple.
Le nombre 2*3*2*5*7*2*3*11 + 1 = 27721 < 10! = 3628800, et il vérifie la propriété demandée (2*3*2*5*7*2*3*11 est un multiple de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12).

par **abcd22** » 05 Mar 2006, 14:13

Si on ne suppose pas le nombre différent de 1 on pourrait aussi prendre 1 tout simplement en fait.

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