Repères courbés

[SylvainM]

Bonjour,

Je suis nouveau sur le forum et c'est mon premier message.

Je cherche à essayer quelque chose afin de résoudre une équation sur un cas bien spécial, et pour cela j'ai pensé à un changement de repère pour un repère dont un axe serait courbe. Ne trouvant pas d'information sur le sujet dans mon entourage, j'ai cherché sur google afin de trouver un cours, un nom de livre ou juste des mots clés afin d'avancer dans mes recherches. Seulement je n'ai trouvé aucune information sur le sujet.

Je me tourne vers vous pour savoir si ce type de repère existe et, si c'est le cas, auriez vous son nom ou un livre à me conseiller sur le sujet ?

Je vous remercie d'avance pour votre aide

[Skullkid]

Bonjour,

Ce dont tu parles porte le nom de coordonées curvilignes. C'est un sujet assez vaste donc tu peux commencer par te renseigner sur les exemples les plus courants que sont les coordonnées polaires, cylindriques et sphériques. Après, s'il s'agit "juste" de résoudre une équation, tu es peut-être à la recherche d'un simple changement de variable ? Donner plus de détails sur ton problème permettrait de défricher un peu.

[SylvainM]

Merci je pense que cela me suffira à trouver le livre adéquat.

En fait je souhaite résoudre une équation de transport d'un champs scalaire. Seul un niveau, le niveau nul du champs, m'intéresse, et je cherche à décrire sa position au cours du temps. Je l'ai fait par changement de repère et de variable pour un profil moyen du niveau 0 formant une droite d'angle alpha avec le repère du laboratoire. En plaçant un repère X confondu avec le profil moyen et Y perpendiculaire à celui ci. Avec un changement de variable j'arrive sur une équation instationnaire 1D et enfin sur du 1D stationnaire dans le domaine de Fourier car tout est supposé harmonique.

Maintenant j'aimerai reprendre une méthode semblable mais pour un position moyenne formant une hélicoïde dont le rayon à l'axe central varie (positivement ou négativement, les deux cas me sont utiles) avec la distance à l'origine sur l'axe central. En gros une spirale à la surface d'un cone. Définir un repère dont un des axes épouse cette courbe me permettrait de résoudre en 1D la perturbation du niveau 0 autour sa position moyenne, un peu comme j'ai pu le faire auparavant sur une géométrie plus simple.

Je n'est pas de schéma ou autre sur moi mais je peut apporter plus d'informations demain si nécessaire, j'espère avoir réussi à l'expliquer clairement.

[Skullkid]

Sans les détails de l'équation c'est en effet un peu confus pour moi, en particulier je ne suis pas sûr d'avoir compris si tu étais en 2D ou en 3D : tes niveaux sont visiblement des courbes 1D mais dans ton deuxième paragraphe ils vivent sur un cône (certes, un cône c'est une surface 2D mais a priori rien n'interdit à tes niveaux de "sortir" du cône).

Quoi qu'il en soit, puisque tu cherches à attacher un repère à une courbe particulière, tu peux aussi te renseigner sur les repères de Frenet et de Darboux.

[SylvainM]

Oui le premier paragraphe est en 2D par axisymétrie à la base et passe en 1D par changement de repère (perturbation 1D autour d'un des axes du repère), le second en 3D mais je pense pouvoir passer en 1D avec le bon repère justement

[SylvainM]

Merci pour la réponse je vais aller me renseigner sur ces repères