Relations d'ordre! petit probleme

[bourbaki]

bonjour à tous
j'ai un petit exo que je n'arrive pas à faire
Soient E un ensemble, R et S deux relations d'ordre total sur l'ensemble E.
On suppose que : pour tout x,y appartenats à E xRy => xSy.
Montere alors que R=S
merci de votre aide :we:

[Alpha]

Salut!

A mon avis, on ne te demande pas de montrer qu'elles sont égales, mais plutôt qu'elles sont équivalentes, ie que pour tout x et y de E, xRy <=> xSy.

D'après l'énoncé, on sait déjà que xRy => xSy.

Montrons donc qu'alors, xSy => xRy.

Soient donc x et y dans E. Supposons que l'on a xSy.

Alors comme R est totale, on a xRy ou yRx.

Si on a xRy, c'est fini, on a ce qu'on veut.

Si on a yRx, alors on a aussi ySx. Mais on a aussi xSy. Or S est une relation d'ordre, donc x=y. Donc xRy.

Donc dans tous les cas, si xSy, alors xRy.

Ce qu'il falllait montrer. :happy3:

Cordialement,

Alpha

[bourbaki]

MErci alpha
je sais seulement qu'il faut procéder par disjonction de cas et je crois que ce que tu m'as proposé et juste.
merci :++:

[Zebulon]

Bonsoir, je voudrais juste dire que je pense que c'est correct de dire que R=S, R et S étant vues comme fonctions de deux variables de E, non?

[Alpha]

C'est vrai, on peut par exemple poser R(x,y) = 0 quand on n'a pas xRy, et R(x,y) = 1 quand xRy, cependant, c'est la 1ère fois que j'entends parler d'égalité plutôt que d'équivalence entre deux relations.

Cordialement

Alpha

[MooMooBloo]

Dans le monier, il ecrit "montrer que R=S", c'est le meme exercice.