Relations Fonctions

[Clemzd]

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un exercice, j'ai compris le concept mais je n'arrive pas à le résoudre avec ce cas particulier, pourriez-vous m'aider s'il-vous-plaît ?

Je m'explique :
Soit R N × {a, b, c} × N dé;)nie par


1. Est-ce une fonction ?
Dès ce moment je bloque car avec deux ensembles je sais comment faire mais la il y en a 3. Je me suis dit qu'il fallait faire la composition puisque la composition de deux fonctions est une fonction et la composition de deux applications est une application, mais je n'obtient pas une fonction et pour la question 4 qui suit ce n'est pas logique puisque ça ne fait que "rajouter";

4. Déterminez un ensemble R;) tel quel R R;) soit une application

[Nightmare]

En effet pour une fonction il nous faut deux ensembles : Un à l'arrivé et un au départ. Ici on en a 3 au premier abord, mais un résultat peut nous aider à palier au problème :

Si A, B et C sont des ensembles, il existe une bijection naturelle entre AxB et BxA, ainsi qu'entre AxBxC et (AxB)xC.

Pour la question 4, il ne faut pas oublier qu'une application est une fonction pour laquelle tous les éléments de l'ensemble de départ ont une image.

[Clemzd]

Merci encore de m'aider

"Si A, B et C sont des ensembles, il existe une bijection naturelle entre AxB et BxA, ainsi qu'entre AxBxC et (AxB)xC." Est-ce que tu pourrais pousser le raisonnement un peu plus loin s'il te plaît ? Je ne vois pas où tu veux en venir et comment procéder pour se retrouver avec deux ensembles sans la composition... Merci :we:

"Pour la question 4, il ne faut pas oublier qu'une application est une fonction pour laquelle tous les éléments de l'ensemble de départ ont une image."
Je ne l'ai pas oublié :lol3: mais avec la composition je peux voir qu'il existe des éléments qui ont plus d'une image, donc on ne peut pas supprimer des relations par l'union d'un ensemble. C'est pour cela que je penses me tromper dès le début, lorsque je cherche à obtenir deux ensembles à partir des trois.

Merci !!

[Nightmare]

Je développe :

1. La traduction de ce que j'ai dit, c'est que tes triplets peuvent être vus comme des couples, où le premier élément est lui même un couple.

Ainsi, on peut réécrire à une bijection près R={{((0,a),0);((0,a),1),((1,b),3)...}. Autrement dit, la relation à la base trinaire entre N, {a,b,c} et N devient une relation binaire entre Nx{a,b,c} et N.

Malheureusement, ce truc là ne fait toujours pas une fonction, (0,a) par exemple est en relation avec deux éléments.

On pourrait aussi voir notre relation comme une relation binaire entre N et {a,b,c}xN, mais là non plus, ça ne ferait pas une fonction.

Pour faire une fonction, la dernière chose qu'on pourrait s'autoriser à faire est d'inverser le premier élément du triplet avec le troisième (c'est bien bijectif). A ce moment là, on a une fonction de N dans Nx{a,b,c} donnée par f(0)=f(1)=(0,a) ; f(2)=f(3)=(1,b); f(4)=(3,c) et f(9)=(3,b).

Mais encore une fois, tout ceci est valable à une bijection près. En théorie, ton triplet ne peut pas être une fonction par définition.

Pour la question sur les applications, tu vois que notre fonction définie ci-dessus est définie sur N mais on ne peut calculer que l'image de 1,2, 3, 4 et 9. Il faut rajouter des éléments pour application une application de N.

[Clemzd]

Mmmh, je ne penses pas que la solution soit ce que tu as donné. En effet la question 3 est la suivante :
3. Formalisez l’ensemble des antécédents de 1.

Suivant ta réponse, on aurait pas plutôt l'ensemble des antécédents de (x,1) x étant a,b ou c ?
Je ne vois pas comment obtenir deux ensembles :mur:

[Nightmare]

Tout à fait, mais il y a encore quelques "tricks" qu'on pourrait faire pour donner un sens à la question 3.

Par exemple, une fois le premier et le troisième élément du triplet inversés, on peut considérer la relation comme une relation entre Nx{a,b,c} et N (comme on l'a déjà fait mais avec les éléments non inversés).

A ce moment là, on a aussi une fonction, donnée par :

f(0,a)=f(1,a)=0 ; f(3,b)=f(2,b)=1 ; f(9,b)=3 et f(4,c)=3

[alm]

Salut

On a une fonction si on identifie et

[Clemzd]

Bonjour,

Je veux bien vous croire, mais est-ce qu'il existe un théorème ou une propriété qui prouve qu'on a le droit de faire cette manipulation ?

Merci :)

[Nightmare]

Qu'entends-tu par "avoir le droit"?

Comme je te l'ai dit, théoriquement R ne désigne pas une fonction, par contre quelque chose qui est identique à R est une fonction.

En maths, on aime bien identifier entre eux des objets qui ne sont pas égaux mais quasiment identiques et ça ne dérange pas de le faire pourvu qu'on soit conscient des différences.

[Clemzd]

"En maths, on aime bien identifier entre eux des objets qui ne sont pas égaux mais quasiment identiques et ça ne dérange pas de le faire pourvu qu'on soit conscient des différences."

Tu l'as dit quasiment identiques n'est pas "égal", je penses donc que c'est faux. Mais regarde la remarque 2.7 page 10 du poly http://tony-bourdier.fr/mg/2.pdf. Je suis parti de cette remarque et j'ai donc répondu comme ceci à l'exo :
1. Oui c'est une fonction : tous les éléments de l'ensemble de départ x {a,b,c} ont au plus une image.
2. Oui c'est une application : tous les éléments de l'ensemble de départ x {a,b,c} ont une et une seule image.
3.
4. Il s'agit de

Que pensez-vous de ce raisonnement ?

[Nightmare]

Encore une fois, tout dépend de l'état d'esprit dans lequel tu es. Si le but de l'exercice est d'être le plus formel possible, alors je me répète : R n'est pas une fonction.

Maintenant, s'il s'agit non pas d'être formel, mais de donner un sens à R et montrer qu'on a compris ce que cette relation pourrait représenter alors là on a le droit de dire que c'est une fonction, à la limite mal présentée.

Tes réponses ne sont pas correctes pour les raisons que j'ai déjà évoqué. L'élément (0,a) est en relation avec 0 et 1, donc lorsque tu dis que tous les éléments de Nx{a,b,c} ont au plus une image, c'est faux. (Sauf si tu considères, comme je l'ai fait, que le N dans ton Nx{a,b,c} est le dernier N de Nx{a,b,c}xN)

[Clemzd]

Oh mince ! :mur:
Je me suis trompé d'énoncé, et du coup je fais référence à l'exercice 2.44 tandis que vous faites référence à l'exercice 2.45 de ce poly (a la fin) http://tony-bourdier.fr/mg/2.pdf
Merci de revoir mes réponses s'il vous plaît :hum:

[Nightmare]

Dans l'exo 2.44, R est effectivement une fonction, mais ce n'est pas une application, quelle est l'image de (17,a) ?

[Clemzd]

Dans l'exo 2.44, R est effectivement une fonction, mais ce n'est pas une application, quelle est l'image de (17,a) ?
Justement je me suis posé cette question mais puisque R est définit ainsi : R = {(0, a, 1),(2, a, 0),(1, b, 3),(3, b, 2),(3, a, 9),(0, b, 4)}, je pensais que E = {(0,a),(2,a),(1,b),(3,b),(0,b)}

[Nightmare]

Dans ce cas, la question n'aurait pas d'intérêt. R est définie sur Nx{a,b,c}, donc en tant que fonction, c'est aussi son ensemble départ.

Cela étant, la frontière est mince et la distinction rarement utile.