Relation racines/coefficients d'un polynome

[zwijndrecht]

Bonjour,

Soit un polynôme et soient ses racines.
On suppose qu'il se factorise sous la forme

(On a donc ).
D'après le théorème des polynômes symétriques, je sais que, pour tout , , où est le -ème polynôme symétrique élémentaire évalué en .

Or, dans une preuve, il est écrit que, pour tout , on a , où est le -ème polynôme symétrique élémentaire.

Je ne comprends pas comment on obtient ce résultat à partir du résultat initial (bien connu).

Merci d'avance pour votre aide

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Pourquoi écris-tu "On a donc " ?

D'après le théorème des polynômes symétriques, je sais que, pour tout , , où est le -ème polynôme symétrique élémentaire évalué en .

Je ne suis absolument pas d'accord

Or, dans une preuve, il est écrit que, pour tout , on a , où est le -ème polynôme symétrique élémentaire.

Et ici, je suis parfaitement d'accord.

[zwijndrecht]

Effectivement, c'est plutôt (mais ça on le sait déjà...)
Je suis allé un peu vite.
Pour , en développant, je trouve maintenant plutôt .
Du coup, ça donne plutôt
Mais je ne vois toujours pas comment aboutir au résultat...

[GaBuZoMeu]

Regarde de plus près. Quel est le coefficient de quand tu développes le produit ?

[zwijndrecht]

Regarde de plus près. Quel est le coefficient de quand tu développes le produit ?

?
Ah donc il suffisait de développer... ce n'était donc pas si compliqué
Merci !

[GaBuZoMeu]

Presque. Il y a un signe qui manque.

[zwijndrecht]

Il manque un devant, c'est bien ça ?

[GaBuZoMeu]

Oui.