Relation racine

[jlb]

Bonjour.
a, b, c sont les racines de X^3 - X - 1, je n'arrive pas à montrer que pour p premier, alors a^p + b^p + c^p est un multiple de p.

Comme a+b+c = 0, j'ai pensé calculer (a+b+c)^p = 0 = a^p+b^p+c^p + p x (....) mais je n'arrive pas à conclure.
Auriez-vous une idée? Merci.

[ désolé, faute de frappe pour le polynôme, j'ai corrigé]

[bolza]

Bonjour,

eh bien c'est fini : ça veux dire que a^p+b^p+c^p = -p x (...) c'est donc bien divisible par p.
Où alors tu regarde la relation modulo p ça donne directement a^p+b^p+c^p=0 modulo p.

[jlb]

Merci de répondre,
dans la parenthèse, je ne sais pas si c'est un entier!!!
a, b, c ne sont pas des entiers, on peut regarder modulo p???

[bolza]

Oui c'est vrai je n'avais pas fait attention à ça

bah du coup pour répondre il faut savoir dans quoi tu travailles ?
autrement dit où vivent les coefficients de ton polynôme ?

[Lostounet]

Hello,

Je pense que ta méthode aboutit: si on développe (a + b + c)^p avec le multinome de Newton, tu trouves que tous les coefficients multinomiaux sont divisibles par p. Cela ne marche que pour p premier (après avoir regardé par exemple (a + b + c)^10 l'argument ne tient pas).

Ensuite, on regarde si les machins p(...) entre parenthèse sont des entiers.
A chaque fois que tu vois un produit "abc" tu peux le remplacer par -1 et il faut s'arranger pour organiser les termes du développement en fonction de (ab + bc + ac), (abc) et (a + b + c) que l'on connait en fonction des coefficients de X^3 -X-1 et qui sont des entiers.

Je ne saurais pas l'écrire proprement par contre ! Et toute la difficulté réside là

[bolza]

Ouiiiiii , bien vu

[jlb]

Salut Lostounet, je suis au même point que toi!! Donc bloqué également! Il doit y avoir une astuce! Dans le corrigé, le prof utilise, tranquille Fermat, est-ce possible sachant la nature de a,b,c?
[ pour infos, a^n+b^n+c^n est un entier pour tout n et parmi a,b et c il y a un réel et deux complexes conjugués]

Le théorème à montrer est: p premier implique a^p+b^p+c^p est un multiple de p
et étude de la réciproque ( en défaut pour n=217 441 )

[Lostounet]

Ah carrément il fallait aller jusqu'à 217 441 pour trouver ce contre-exemple?

[Ben314]

Si sont les racines distinctes (réelles ou complexes) de où sont entiers et que, pour tout on pose alors :
et, pour tout .
Ça montre que, pour tout , est entier et qu'on peut considérer sa classe dans .
Vu que , la suite est combinaison linéaire des suites où sont les racines (1) de de .
Ces racines ne sont pas forcément dans , mais éventuellement dans une extension de (2)
Vu les valeurs initiales de la suite, on a donc forcément et cela prouve que car
C'est à dire que est congru à modulo .

(1) Distinctes car vu que P est a racines distinctes, on a pgcd(P,P')=1 dans Z[X] et, via Bézout, on a aussi dans .

(2) Ce qui signifie en particulier qu'on a pas forcément vu que cette relation caractérise les éléments de parmi ceux des extensions de (donc si ton prof. a utilisé un truc qui ressemble à ça, ben c'est faux...)

[Doraki]

La suite (un) = (3, a+b+c, a²+b²+c², ...) est une suite récurrente (un) qui vérifie u(n+3) = u(n+1) + un, donc c'est une suite d'entiers.
Ceci est tout autant vrai quand tu prends a,b,c dans une extension de Q, que quand tu prends a,b,c dans une extension de Fp.

Si tu appelles ap,bp,cp les racines de ton polynôme mod p, alors
un mod p = ap^n + bp^n + cp^n
puisque ce sont 2 suites d'éléments de Fp qui vérifient la même équation récurrente et qui démarrent pareil.
ou alors parceque ap^n + bp^n + cp^n est une expression polynômiale en (a+b+c),(ab+bc+ac) et (abc) et que passer au modulo avant ou après revient au même


Comme x -> x^p est un automorphisme de la cloture algébrique de Fp qui permute les 3 racines ap, bp, cp, on a donc ap^p + bp^p + cp^p = ap + bp + cp = 0

Et donc up mod p = 0

(mais attention ça ne veut pas dire que un mod p est (p-1)-périodique, par exemple u(p+1) mod p peut être ab+ac+bc ou a²+2bc ou a²+b²+c² selon la manière dont le polynôme se factorise)

[jlb]

Merci pour vos réponses, j'ai enfin un peu de temps pour lire tout cela.