Relation polynome

[xxdebgxx]

bonjour,
j'ai un DM a rendre et je bloque un l'exo, le voici:

1. On cherche les u, v, w dans C verifiant:
u + v + w = 3 + 3i
u² + v² + w² = 4i
1/u +1/v +1/w = 7/10(2- i)
(a) Calculer uv + vw + uw et uvw.
(b) Montrer que u, v, w sont les racines du polyn^ome P = X3 -3(1 + i)X2 + 7iX + 2 - 4i.
(c) Effectuer la division euclidienne de P par X -1.
(d) Determiner les racines de P.
(e) Conclure.
2. On pose P = X^3 - iX + 3 2 C[X]. On note u, v, w ses racines. Calculer u^5 + v^5 + w^5.
On pourra utiliser le fait que P(u) = P(v) = P(w) = 0.

j'ai reussi a la question c) et j'ai reussi a calculer uv+uw+vw mais pas uvw.
merci par avance pour votre aide.

[messinmaisoui]

Bonjour xxdebgxx

u + v + w = 3 + 3i
u² + v² + w² = 4i
1/u +1/v +1/w = 7/10(2- i)

(a) Calculer uvw.

En regardant les 3 expressions j'ai eu l'idée de calculer
(u + v + w)²

(u + v + w)²
= ((u + v) + w)²
= (u + v) ² + 2(u + v) w + w²)
= u² + v² + w² + 2(uv +vw + uw) (exp1)

Cette expression donne
et 1/u +1/v +1/w = (uv + vw + uw) / uvw = 7/10(2- i) (exp2)

en utilisant (exp1) et (exp2) ça devrait le faire

[xxdebgxx]

j'ai reussi merci =) mais je n'arrive pas a trouver les racines de P et la question 2!!

[Oxynos]

Salut xxdebgxx, tu as compris la question 2 ? Parceque je ne comprend pas ceux qu'il faut faire ... Si on montre que u,v,w sont les racines du polynôme pourquoi à la question d il demande de les déterminer ?
Pour la question b donc comment le montrons nous sans calculer u,v,w ou on aurrait pu faire : P(u)=0 ; P(v)=0 ; P(w)=0.