Relation d'ordre totale

[wilfriedd]

Bonjour,
je me remets dans les maths depuis peu et les choses reviennent assez vite en les lisant, mais j'ai parfois quelques interrogations.

Je lisais par exemple dans un livre, une définition :
"On appelle relation d'ordre (...)
Cette relation d'ordre est dite totale si (...), sinon elle est partielle.
(...)"

Et en-dessous il y a un exemple :
"l'inclusion définit une relation d'ordre partielle sur l'ensemble P(E) des parties d'un ensemble E."

J'ai donc deux questions :

1) Une relation d'ordre qui n'est pas totale est partielle, mais est-ce qu'une relation d'ordre totale peut-être aussi considérée comme partielle ?

2) Dans le cas contraire, puisque l'ensemble vide est inclus dans tous les ensemble (non?), si E est l'ensemble vide ou un ensemble réduit à un élément, alors l'inclusion est symétrique (non ?) donc partielle (non ?)

Merci de m'éclairer.

[Aristarque]

1) Une relation d'ordre qui n'est pas totale est partielle, mais est-ce qu'une relation d'ordre totale peut-être aussi considérée comme partielle ?

C'est une simple question d'usage. Il n'y a pas de réponse univoque à cette question. Certains auteurs préfèreront inclure les relations d'ordre totales parmi les partielles, d'autres préfèreront que les deux notions soient bien disjointes. Il faut faire bien attention à la définition donnée par un auteur considéré. En général, quand un auteur dit "..., sinon elle est partielle", il sous-entend que les deux cas doivent être pris comme exclusifs l'un de l'autre.

2) Dans le cas contraire, puisque l'ensemble vide est inclus dans tous les ensemble (non?), si E est l'ensemble vide ou un ensemble réduit à un élément, alors l'inclusion est symétrique (non ?) donc partielle (non ?)

Oui, l'ensemble vide est inclus dans tout autre.
Donc si E est l'ensemble vide, E=0, alors l'inclusion définie sur P(0) est une relation symétrique, puisque la seule relation qui peut être écrite est alors "0 C 0".

Par contre, si E est réduit à un élément, cad si E={a}, alors la relation d'inclusion sur P(E) ne sera pas symétrique. En effet, on aura "0 C {a}" mais pas "{a} C 0".

Par contre, je ne vois pas de rapport direct entre le fait pour une relation d'ordre d'être symétrique et le fait d'être partielle ou totale.