Relation d'ordre

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novicemaths
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Relation d'ordre

par novicemaths » 19 Jan 2021, 20:29

Bonsoir

Voici mon exercice sur la relation d'ordre.

On a E={a,b,c,d} et on munit l’ensemble des parties de E de l’ordre de l’inclusion.
Soit A = {{a}; {b; c}; {a; c}; {d}}.

1) Donner la liste des parties de E.

2) Quels sont les minorants de A? les majorants ?

3) Quels sont les plus grands éléments de A? les plus petits ?

Voici mon diagramme
Image


Pour la question 1)



Pour les deux autres questions, je ne vois pas comment analyser le schéma, si il est juste ?.

A bientôt



GaBuZoMeu
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Re: Relation d'ordre

par GaBuZoMeu » 19 Jan 2021, 21:01

Bonjour,

Que veut dire ton diagramme ?

Ta réponse à la question 1 ne va pas du tout. Pourquoi écris-tu A= ... ? A est déjà défini dans l'énoncé. Et ce qu'on te demande, c'est de faire la liste des parties de E. Ce n'est pas du tout ce que tu fais. Au fait, combien y a-t-il de parties de E ?

phyelec
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Re: Relation d'ordre

par phyelec » 19 Jan 2021, 21:07

Bonjour,

Pour la question 1)
Il y a pleins d’inexactitudes dans ce que tu as écrit.
1) A vaut A = {{a}; {b; c}; {a; c}; {d}} c'est l'énoncé. Je suppose que le A que tu as écrit est pour toi les parties de E.
2) On te demande l'ensemble des partie de E qui se note P(E). Donc tu remplaces ton A par P(E).
3) les parties sont notés entre { } donc a,b,c,d ne sont pas valide au niveau notation
3) il manque des parties, il y en a 24.

Peux-tu essayer d'en trouver d'autres

phyelec
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Re: Relation d'ordre

par phyelec » 19 Jan 2021, 21:08

@GaBuZoMeu , je n'avais pas vu votre poste. Je vous laisse avec novicemaths

novicemaths
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Re: Relation d'ordre

par novicemaths » 19 Jan 2021, 21:38

Mon diagramme, est un diagramme de Hasse, si il est bien fait.

J'essai d'établir la relation entre a, b, c, d avec le diagramme.

On me demande bien de donner la liste des parties de E.

Mon problème est un manque de cours, dans mon livre d'algèbre, il n'y a qu'un petit paragraphe sur la relation d'ordre.

hdci
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Re: Relation d'ordre

par hdci » 19 Jan 2021, 22:48

Dans un ensemble de n éléments , il y a 2 puissance n parties. Donc ici les parties de E qui contient 4 éléments, cela fait 2 puissance 4 soit 16 parties :
  • L'ensemble vide,
  • les 4 singletons,
  • Les 6 paires
  • Les 4 triplets
  • et E lui-même.

En ce qui concerne la relation d'ordre, c'est une forme de "comparaison" entre deux éléments, comparaison latéralisée (c'est-à-dire "x en relation avec y" est différent de "y en relation avec x), qui vérifie les trois points suivant :
  • réflexivité : tout élément est en relation avec lui-même
  • Antisymétrie : si un élément x est en relation avec un élément y, et si y est en relation avec x, alors x=y
  • Transitivité : si x est en relation avec y et y en relation avec z alors x est en relation avec z

Cela s'appelle une relation d'ordre, car la première de ces relations, c'est l'ordre naturel des nombres :
  • un nombre et toujours inférieur ou égal à lui-même
  • si x est inférieur ou égal à y et y inférieur ou égal à x, alors x est bien égal à y
  • si x est inférieur ou égal à y et y inférieur ou égal à z, alors x est bien inférieur ou égal à z

Dans l'ensemble des parties de E, il est facile de voir que l'inclusion vérifie bien ces trois critères : toute partie est incluse dans elle même, si une partie est incluse dans une seconde partie et que la seconde partie est incluse dans la première, elles sont égales, et si une partie est incluse dans une seconde et la seconde dans une troisième, alors la première est incluse dans la troisième

Concernant les minorants et les majorants : si on appelle "inférieur" la relation d'ordre (pour généraliser), alors un minorant d'un sous-ensemble est un élément qui est inférieur à chacun des éléments de la partie, et un majorant est tel que chacun des éléments de la partie est inférieur au majorant.
(Ici, il y a une difficulté sémantique, car les éléments sont des parties de E, mais on parle de minorant ou de majorant de parties de c'est pour cela que j'ai utilisé "sous-ensemble" pour éviter la confusion).

Ainsi dans ton problème, il est clair que l'ensemble vide est un minorant de A, et c'est le seul, car on ne peut pas comparer {b} avec {a} par exemple donc {b} n'est pas un minorant, etc.
De la même façon on détermine les majorants (il n'y en a qu'un seul en fait)

On appelle alors "plus petit élément de A" l'élément de A, s'il existe, qui est inférieur à tous les éléments de A. Ici, y en a-t-il ?
Même chose pour "le plus grand".
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

hdci
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Re: Relation d'ordre

par hdci » 19 Jan 2021, 22:57

Au passage, de ce que j'ai compris du diagramme de Hasse (par un rapide coup d'oeil à Wiki...), c'est une représentation schématique des liens de la relation d'ordre.

Donc ici le diagramme de Hasse est incorrect, car les éléments à prendre en compte ne sont pas ceux de E, mais ceux de

On aurait ainsi l'ensemble vide, relié à chacun des singletons {a},{b},{c},{d}, eux-memes reliés à chacune des paires contenant son élément (donc {a} relié à {a,b}, {a,c}, {a,d} mais pas à {b,c}), etc. et "orienté" de telle sorte que l'ensemble vide est en bas, puis un niveau au-dessus avec les singletons, etc.

Le diagramme que tu as tracé correspondrait à une relation dans A, mais les "boucles" sont inutiles car "obligatoires" dans une relation d'ordre (donc il faudrait retirer celles de a et de d, ou bien ajouter systématiquement à b et c...) ; et cette relation serait alors, outre la réflexivité, a<=c et b<=c (et c'est tout). Donc rien à voir avec la relation d'inclusion.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

 

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