Dans un ensemble de n éléments , il y a 2 puissance n parties. Donc ici les parties de E qui contient 4 éléments, cela fait 2 puissance 4 soit 16 parties :
- L'ensemble vide,
- les 4 singletons,
- Les 6 paires
- Les 4 triplets
- et E lui-même.
En ce qui concerne la relation d'ordre, c'est une forme de "comparaison" entre deux éléments, comparaison latéralisée (c'est-à-dire "x en relation avec y" est différent de "y en relation avec x), qui vérifie les trois points suivant :
- réflexivité : tout élément est en relation avec lui-même
- Antisymétrie : si un élément x est en relation avec un élément y, et si y est en relation avec x, alors x=y
- Transitivité : si x est en relation avec y et y en relation avec z alors x est en relation avec z
Cela s'appelle une relation d'ordre, car la première de ces relations, c'est l'ordre naturel des nombres :
- un nombre et toujours inférieur ou égal à lui-même
- si x est inférieur ou égal à y et y inférieur ou égal à x, alors x est bien égal à y
- si x est inférieur ou égal à y et y inférieur ou égal à z, alors x est bien inférieur ou égal à z
Dans l'ensemble des parties de E, il est facile de voir que l'inclusion vérifie bien ces trois critères : toute partie est incluse dans elle même, si une partie est incluse dans une seconde partie et que la seconde partie est incluse dans la première, elles sont égales, et si une partie est incluse dans une seconde et la seconde dans une troisième, alors la première est incluse dans la troisième
Concernant les minorants et les majorants : si on appelle "inférieur" la relation d'ordre (pour généraliser), alors un minorant d'un sous-ensemble est un élément qui est inférieur à chacun des éléments de la partie, et un majorant est tel que chacun des éléments de la partie est inférieur au majorant.
(Ici, il y a une difficulté sémantique, car les éléments
sont des parties de E, mais on parle de minorant ou de majorant de parties de
c'est pour cela que j'ai utilisé "sous-ensemble" pour éviter la confusion).
Ainsi dans ton problème, il est clair que l'ensemble vide est un minorant de A, et c'est le seul, car on ne peut pas comparer {b} avec {a} par exemple donc {b} n'est pas un minorant, etc.
De la même façon on détermine les majorants (il n'y en a qu'un seul en fait)
On appelle alors "plus petit élément de A" l'élément de A, s'il existe, qui est inférieur à tous les éléments de A. Ici, y en a-t-il ?
Même chose pour "le plus grand".
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.