Relation entre polynome minimal et sa dérivée

[Sebbatou]

Bonjour a tous !

Voila j'au un DM a rendre pour demain et malgré pas mal de temps dessus, une question me bloque.

Si on considere une matrice X, et µ son polynome minimal de dégré d, je dois montrer que
d.µ(X) = X.µ'(X)

J'ai pour l'instant posé µ, un polynome avec son coef de plus haut degré égal a 1, et calculé sa dérivée, de là même façon que je dérive une fonction polynomiale (le degré en coef et le degré qui descend).
J'obtiens donc µ'(X)= d.X^(d-1) + (d-1).a.X^(d-2) + ... + a
avec a les coef (differents) de µ.

Mais multiplié par X, j'obtiens alors
X.µ'(X)= d.X + (d-1).a.X^(d-1) + ... + a.X

Le soucis c'set qu'a part le premier terme, ce n'set pas égal a d.µ(X) :hein:
Je devrais trouvé uniquement des d.a en coef, et non des d-1, d-2... jusqu'a 0, mais je ne vois pas vraiment où est l'erreur...

Merci d'avance

[lionel52]

l'énoncé est faux comme tu l'as souligné ! peux tu montrer le dm?

[Sebbatou]

En voila une capture d'ecran. C'set la question 12.c

[Doraki]

Ok donc là t'as presque montré que si A est une matrice telle que Xµ' = dµ, alors A est nilpotente.
Donc tu as en fait presque fait la question d'après.

Pour montrer l'égalité, il va falloir que tu te serves des hypothèses en plus sur A parceque A n'est clairement pas n'importe quelle matrice. Donc il faut te servir des questions a et b et de l'hypothèse faite dont tu ne t'es toujours pas servie.

[Sebbatou]

Je dois utiliser le fait que U et V sont semblables, ce qui me donnerait une hypothese sur A ?

[Ben314]

Je dois utiliser le fait que U et V sont semblables, ce qui me donnerait une hypothese sur A ?

Ca te donne surtout une "hypothèse" (sic...) sur le polynôme minimal de U...