emdro a écrit:Bonjour,
Il y a plusieurs problèmes dans ce que tu dis:
* une relation non réflexive est telle qu'il existe un élément a tel que a ne soit pas en relation avec lui-même. Tu as dit qu'aucun élément ne bouclait sur lui-même, ce n'est pas pareil...
* ensuite tu dis que dès que a,b,c sont distincts, on vérifie aRb et bRc et aRc.
Si c'est bien le cas, on préfère dire que si a, b sont distincts, on verifie aRb. Aurais- tu confondu ET et IMPLIQUE?
*enfin, mais c'est moins grave, la relation est symétrique ou pas. On ne dit pas symétrique pour tout couple...
Merci pour vos réponses.
Je pense que je ne me suis pas bien fat comprendre, c'est normal, l'énoncé original est donné sous forme d'un diagramme cartésien que je n'ai pas pu/su reproduire.
Imaginez svp un tableau cartésien de la relation R dans un ensemble A- comprenant 3 éléments a,b et c -, qui indique, sous forme de croix à l'intersection des lignes et colonnes pour lesquels les éléments sont en relation par R :
a R b
a R c
b R a
b R c
c R a
c R b
on demande :
R est-elle réflexive, symétrique, transitive ?
réflexive : NON
symétrique : OUI puisque chaque fois qu'un élément est en relation avec un autre, la relation réciproques est établie, ou pour l'écrire sous forme de proposition : Si a R b ALORS b R a
transitive : c'est là que j'avais un doute sur mon raisonnement :
certes j'ai noté que on a a R b et b R c et (ce 2ème et choque, je comprends, je le remplace par 'mais aussi') a R c, ce qui sous forme de proposition s'écrit
,
mais je note qu'on a aussi a R b, b R a, pour autant on a pas a R a ; donc bien qu'on ne prenne en compte que 2 éléments de A, peut-on valablement statuer sur la transitivité de R ? Là je réponds oui (pour statuer) et donc que de ce fait R n'est pas transitive.
De façon plus générale, ma question aurait pu être : faut-il nécessairement considérer 3 éléments distincts d'un ensemble pour étudier la transitivité d'une relation au sein de cet ensemble.
Les exemples de cours (ou sur internet) mentionnent toujours 3 éléments, supposés distincts ; je veux savoir si j'ai bien compris ce que transitivité veut dire ?
SI, par une relation R dans un ensemble,
un premier élément d'un ensemble est en relation par R avec un deuxième élément de cet ensemble
ET
que ce deuxième élément est en relation par R avec un troisième élement de cet ensemble
ALORS
le premier élément doit être en relation avec le troisième par R
MAIS.....et c'est là que je m'interroge
si le troisième élément est égal au premier, alors, pour qu'il y ait transitivité, il faut/faudrait que le premier élément soit en relation avec lui-même ? (boucle sur lui même comme j'ai écrit dans mon premier message) ?
Ici aucun élément n'étant en relation avec lui-même, mais nous trouvant en présence d'éléments qui sont réciproquement en relation l'un avec l'autre, j'en conclus que la relation R ne peut pas être transitive...
Ai-je raison, tort ? Suis-je plus clair ?
Merci de me dire