Regles de calcul sur les congruence
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Vlad-Drac
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par Vlad-Drac » 08 Mar 2018, 22:35
bonjour,
j'ai vu que si a est congru à b modulo m alors on a
a^n congru à b^n modulo m
donc
5 est congru a 2 modulo 12
et 25 est congru a 4 modulo 12
alors que 25 est congru a 1 modulo 12 !
voila je ne comprend pas trop...
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Lostounet
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par Lostounet » 08 Mar 2018, 22:40
Salut
Depuis quand 5 est-il congru à 2 modulo 12 :p
14 par exemple est congru à 2 modulo 12...
Ou bien 2 est congru à 2 modulo 12
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Ben314
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par Ben314 » 09 Mar 2018, 00:18
Salut,
Pour le fun, ça m'amuserait quand même bien de savoir quel sens peut bien donner notre ami Vlad-Drac à l'expression "... est congru à ... modulo ..." pour avoir "5 est congru a 2 modulo 12".
(surtout que, autant "congru", je sais pas trop si c'est dans le dico, mais par contre "modulo", il me semble bien que c'est quand même bien usité avec comme définition grosso modo la même qu'en math, non ?)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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Lostounet
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par Lostounet » 09 Mar 2018, 00:36
Congru: (littéraire)
Qui convient, approprié.
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Elias
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par Elias » 09 Mar 2018, 00:42
Ben314 a écrit:Salut,
Pour le fun, ça m'amuserait quand même bien de savoir quel sens peut bien donner notre ami Vlad-Drac à l'expression "... est congru à ... modulo ..." pour avoir "5 est congru a 2 modulo 12".
Une explication possible (mais notre ami Vlad-Drac nous dira quelle est l'origine de sa confusion) est peut être:
et
divise
donc
(alors qu'il faudrait que 12 divise 3, dans ce sens là).
Pseudo modifié : anciennement Trident2.
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vejitoblue
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par vejitoblue » 09 Mar 2018, 04:30
Salut. D'ailleurs comment on prouve ce résultat ?
Par le binôme de Newton ou une astuce ou un résultat sur les groupes maybe?
Allez au dodo, ça veut plus reflechir
Peut être que le mec a juste fait une petite erreur de calcul et qu'il vient poser sa question au pif.... Indulgence.
Ah nan en fait la preuve à l'air plus simple que prévu ++
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nodgim
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par nodgim » 09 Mar 2018, 09:32
C'est curieux cette question....
si a=b alors a^n = b^n.
Pourquoi en serait il différent en ajoutant simplement " modulo m " ?
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Pseuda
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par Pseuda » 09 Mar 2018, 10:10
Bonjour,
C'est 12 qui est congru à 2 modulo 5. Petite confusion.
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Elias
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par Elias » 09 Mar 2018, 11:31
nodgim a écrit:C'est curieux cette question....
si a=b alors a^n = b^n.
Pourquoi en serait il différent en ajoutant simplement " modulo m " ?
Oui mais a n'est pas supposé égal à b, on a seulement a congru à b modulo m donc il y a un petit travail à faire (ne pas se laisser "piéger" par le signe congru - qui ressemble au signe "=" - qui n'est qu'une notation pour exprimer une relation de divisibilité).
vejitoblue a écrit:Salut. D'ailleurs comment on prouve ce résultat ?
Par le binôme de Newton ou une astuce ou un résultat sur les groupes maybe?
De façon générale, si
et
alors
.
Pour le prouver, c'est la fameuse astuce de factorisation suivante (aussi utile pour montrer la dérivée d'un produit (fg)' = f'g + fg') :
qui est bien divisible par
car
et
par hypothèses.
Ensuite, par récurrence, on montre facilement que si
, alors
pour
entier naturel.
Pseudo modifié : anciennement Trident2.
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Ben314
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par Ben314 » 09 Mar 2018, 11:53
Trident2 a écrit:De façon générale, si
et
alors
.
Pour le prouver, c'est la fameuse astuce de factorisation suivante (aussi utile pour montrer la dérivée d'un produit (fg)' = f'g + fg') :
Pour que ça donne moins l'impression d'être une "astuce", tu peut aussi écrire que
et
donc
(qui correspond un peu plus à la vision du chmilblick via les idéaux : les éléments de
c'est les différents ensemble
avec
)
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Elias
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par Elias » 09 Mar 2018, 12:04
Effectivement, c'est mieux de présenter les choses comme cela (surtout si on veut démontrer cette propriété à des TS spé maths). Ça a l'avantage de se ramener à un simple travail d'écriture.
Pseudo modifié : anciennement Trident2.
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nodgim
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par nodgim » 09 Mar 2018, 12:51
En revanche, la question intéressante à poser est celle ci :
a^n = b^n mod m =====> ? a = b mod m .
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Elias
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par Elias » 09 Mar 2018, 13:18
La question est plutôt :
1) A-t-on l'implication :
(il existe
entier tel que
)
?
Ou
2) A-t-on l'implication :
(pour tout entier
)
?
C'est faux dans les deux cas. Pour la deuxième :
On prend
On a pas
mais pour tout
Pseudo modifié : anciennement Trident2.
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