Regles de calcul sur les congruence

[Vlad-Drac]

bonjour,
j'ai vu que si a est congru à b modulo m alors on a
a^n congru à b^n modulo m
donc
5 est congru a 2 modulo 12
et 25 est congru a 4 modulo 12
alors que 25 est congru a 1 modulo 12 !
voila je ne comprend pas trop...

[Lostounet]

Salut
Depuis quand 5 est-il congru à 2 modulo 12 :p

14 par exemple est congru à 2 modulo 12...
Ou bien 2 est congru à 2 modulo 12

[Ben314]

Salut,
Pour le fun, ça m'amuserait quand même bien de savoir quel sens peut bien donner notre ami Vlad-Drac à l'expression "... est congru à ... modulo ..." pour avoir "5 est congru a 2 modulo 12".

(surtout que, autant "congru", je sais pas trop si c'est dans le dico, mais par contre "modulo", il me semble bien que c'est quand même bien usité avec comme définition grosso modo la même qu'en math, non ?)

[Lostounet]

Congru: (littéraire)
Qui convient, approprié.

[Elias]

Salut,
Pour le fun, ça m'amuserait quand même bien de savoir quel sens peut bien donner notre ami Vlad-Drac à l'expression "... est congru à ... modulo ..." pour avoir "5 est congru a 2 modulo 12".

Une explication possible (mais notre ami Vlad-Drac nous dira quelle est l'origine de sa confusion) est peut être: et divise donc (alors qu'il faudrait que 12 divise 3, dans ce sens là).

[vejitoblue]

Salut. D'ailleurs comment on prouve ce résultat ?
Par le binôme de Newton ou une astuce ou un résultat sur les groupes maybe?

Allez au dodo, ça veut plus reflechir

Peut être que le mec a juste fait une petite erreur de calcul et qu'il vient poser sa question au pif.... Indulgence.

Ah nan en fait la preuve à l'air plus simple que prévu ++

[nodgim]

C'est curieux cette question....
si a=b alors a^n = b^n.
Pourquoi en serait il différent en ajoutant simplement " modulo m " ?

[Pseuda]

Bonjour,

C'est 12 qui est congru à 2 modulo 5. Petite confusion.

[Elias]

C'est curieux cette question....
si a=b alors a^n = b^n.
Pourquoi en serait il différent en ajoutant simplement " modulo m " ?

Oui mais a n'est pas supposé égal à b, on a seulement a congru à b modulo m donc il y a un petit travail à faire (ne pas se laisser "piéger" par le signe congru - qui ressemble au signe "=" - qui n'est qu'une notation pour exprimer une relation de divisibilité).

Salut. D'ailleurs comment on prouve ce résultat ?
Par le binôme de Newton ou une astuce ou un résultat sur les groupes maybe?

De façon générale, si et alors .

Pour le prouver, c'est la fameuse astuce de factorisation suivante (aussi utile pour montrer la dérivée d'un produit (fg)' = f'g + fg') :

qui est bien divisible par car et par hypothèses.

Ensuite, par récurrence, on montre facilement que si , alors pour entier naturel.

[Ben314]

De façon générale, si et alors .
Pour le prouver, c'est la fameuse astuce de factorisation suivante (aussi utile pour montrer la dérivée d'un produit (fg)' = f'g + fg') :

Pour que ça donne moins l'impression d'être une "astuce", tu peut aussi écrire que et donc (qui correspond un peu plus à la vision du chmilblick via les idéaux : les éléments de c'est les différents ensemble avec )

[Elias]

Effectivement, c'est mieux de présenter les choses comme cela (surtout si on veut démontrer cette propriété à des TS spé maths). Ça a l'avantage de se ramener à un simple travail d'écriture.

[nodgim]

En revanche, la question intéressante à poser est celle ci :

a^n = b^n mod m =====> ? a = b mod m .

[Elias]

La question est plutôt :

1) A-t-on l'implication :
(il existe entier tel que ) ?

Ou

2) A-t-on l'implication :
(pour tout entier ) ?

C'est faux dans les deux cas. Pour la deuxième :

On prend
On a pas mais pour tout