Régle de démonstration sur les supérieures à... inférieures à...

[Syphys]

Bonjour,


J'ai une lacune en math je ne sais pas comment démontrer ça :
2^(n-1) < x <= 2^n alors elog(x) = n

Pourriez-vous me diriger vers des cours qui vous semblent nécessaires pour résoudre ce problème?
Ou me dire les règles de démonstration primaires sur les > et les <.

Merci.

[Robic]

Bonjour ! Je pense que le plus simple est de passer au logarithme. On sait que log(a^b) = b log(a), ici ça donne :
(n-1) log(2) < log(x) <= n log(2)
n-1 < log(x)/log(2) <= n

Je ne sais pas ce que tu appelles « elog » (j'ai cherché avec Google, je n'ai pas trouvé) mais peut-être que c'est le logarithme en base 2 ? En effet, log(x)/log(2) est égal, par définition, à log2(x) (je note « log2 » le logarithme en base 2). Et donc on a :

n-1 < log2(x) <= n.

Si on note E la fonction qui, pour un nombre réel donné y, donne le plus petit entier p tel que y<=p (par exemple E(3,14) = 4), alors on en déduit que E( log2(x) ) = n. (C'est ça que tu appelles « elog » ?)

Bref : ça concerne le cours sur le logarithme.

[Syphys]

Bonjour,

Merci!

elog(x) log2(x) si j'ai bien compris :

On appelle logarithme entier elog(x) d'un nombre réel x supérieur ou égal à 1, le nombre de fois qu'il faut le diviser par deux pour obtenir un nombre inférieur ou égal à 1. Par exemple, le logarithme entier du nombre 60000 est 16 car 60000/2^16, c'est-à-dire 60000 divisé par 2 seize fois est égal à 0,915...

Pour prouver que si 2^(n-1) < x <= 2^n alors elog(x) = n
J’essaie :
2^(n-1) < x <= 2^n implique n-1 <elog(x) <=n implique -1 < elog(x) - n <= 0 mais je sais pas si ça sert à quelque chose... Je pense qu'on peut utiliser le fait que ce soit une base 2 pour dire que l’intervalle n'est pas assez grand est que donc ce doit être égale à zero mais c'est juste une intuition...

[Robic]

Ah, c'est ça elog ! Je ne connaissais pas (et Google ne m'a pas amené au bon endroit...)

Donc en effet, je crois que elog(x) est égal à log2(x) si x est une pile poil une puissance de 2, et à l'entier immédiatement supérieur à log2(x) sinon. Si c'est bien ça, mon message précédent donne la démonstration à l'aide du logarithme, mais l'utilisation de la définition précise du elog comme tu l'as commencée est plus rapide :

2^(n-1) < x <= 2^n implique n-1 <elog(x) <=n

Et là c'est fini ! Enfin, presque : il reste à rappeler que, par définition, elog(x) est un entier, donc l'égalité de droite implique qu'il vaut n.

[Syphys]

ha! merci!!
J'ai même pas compris de suite que dans l'intervalle ]n-1, n], il n'y avait qu'un seul nombre entier : "n"!
Cool :)