Réflexions sur les Mathématiques

[rossonero]

Bonjour à tous,
j'aurais besoin de vos idées sur deux "petites" questions....si vous pouviez m'aider, ca serait fantastique :
1) Quelles sont les questions fondamentales auxquelles tentent de répondre, selon vous, les mathématiques?
2) Quels sont les concepts-clés des maths) (Entendez par là les concepts qui organisent, structurent la discipline)
Je remercie d'avance ceux qui se lanceront dans ces réflexions...

[busard_des_roseaux]

1) Quelles sont les questions fondamentales auxquelles tentent de répondre, selon vous, les mathématiques?

Une réponse raisonnable serait d'écrire que les mathématiques
sont un outil au service d'un nombre incalculable de gens:

- les physiciens essayent de comprendre la Nature
- les ingénieurs de la domestiquer
- les financiers, les géographes, les astronautes, les techniciens, les architectes,
- les statistiques aident les médecins, les hommes politiques, les gouvernants,
les conseillers en marketing
- les militaires

on peut écrire que chaque profession utilise les maths et ses propres mathématiques.

ça c'est la réalité sociale. maintenant, il y a des "grandes" questions
qui appartiennent à plusieurs domaines de pensée:
métaphysique, religion, science
- mystère des Origines
- forme de l'Univers
- étude des infiniments petits et infiniment grands
- théorie de l'Evolution
- problème de l'existence du Mal

Quels sont les concepts-clés des maths) (Entendez par là les concepts qui organisent, structurent la discipline)

Dès que l'on étudie apparaissent des besoins de classification:
- classification des espèces en Botanique, en maths classification
des surfaces (variétés) , des groupes, des équations, etc...
- on peut penser à la méthode inductive: elle permet de créer
des lois générales à partir de l'étude d'un certain nombre de cas particuliers
- il y a l'axiomatisation: c'est un résumé des principales propriétés
d'un domaine. l'axiomatisation est obtenue au prix de l'abstraction.
Ainsi, après avoir étudié la trigonométrie circulaire, hyperbolique, lemniscatique, on résumera tout cela en une axiomatique de la trigonométrie..

On a ainsi axiomatisé: la géométrie, les probabilités,les ensembles,
les structures (groupes,..)

les matheux sont très intéressés par la description des formes et
des structures: fractales,réseaux, graphes,etc..
ils peuvent être intéréssés par les fondements: Logique, axiomes, paradoxes,
langages, grammaires,etc..

Il y a effectivement des concepts-clés:
- la linéarisation: on approche un phénomène complexe
par un phénomène évolutif simple.
- le calcul différentiel: on s'intéresse aux variations d'un système
- la dynamique des systèmes: étude de l'évolution

et évidemment les problèmes de Mesure: on compte, on mesure tout:
les surfaces, les volumes, les angles, les nombres premiers. De ce point de vue, les Nombres tiennent un rôle central.

La problématique moderne tient compte de l'invention de la machine à calculer
et des ordinateurs: questions pratiques mais aussi philosophiques: l'intelligence étant automatisable, sa définition habituelle devient paradoxale
(Turing,Gödel,etc..)

le sujet est vaste...

[barbu23]

Je ne suis pas du tout d'accord avec cette vision un peu restreinte des choses : les mathematiques ne cherchent pas uniquement à decrire la nature et y être dépendant, mais va au delà du réel ! le reel souvent est soumi à quelques contraintes : par exemple, par contre en algèbre, avec et dans .
Donc, les mathematiques, ne sont pas au service de la physique, mais c'est la physique qui vient frapper dans la porte des mathematiques pour voir si elle a un théorème à lui forunir gratuitement ! c'est à peu près la même chose que ce que fait un mendiant à l'egard d'un riche ! les maths sont plus riches que la physique ! :happy3:

[fatal_error]

l'ingénieur aussi il vient taper a sa porte. Et en prime il bidouille et bafouille son formalisme! Et pas avec des pincettes!

Je pense que le role des math (tout comme le début du 2eme post de busard_des_roseaux) c'est de répondre aux problemes que rencontre l'homme. Sans connaissance mathématique, voilà ce que je constate.
On a besoin de compresser une image -> ondelettes.
On a besoin d'optimiser un truc avec contraintes -> optimisation linéaire
On a besoin de faire de la peinture du monde 3d sur tableau -> geometrie projective
On veut étudier la chaleur -> series de fourier
...

LE concept clé des math, à mes yeux, c'est une rigueur extrême et une abstraction suffisamment importante pour qu'on puisse utiliser (et surtout réutiliser) des résultats dans divers domaines.

[busard_des_roseaux]

Je pense que le rôle des math (tout comme le début du 2eme post de busard_des_roseaux) c'est de répondre aux problemes que rencontre l'homme.

et la femme (Emmy Noether,Sophie Germain,..)

[switch_df]

Je vous trouve la pas tellement objectif. Les mathématiques doivent beaucoup à la physique. Des domaines entiers proviennent de la physique qui est une source incroyable d'idée.

Si l'on pense au calcul différentiel (Leibnitz et Newton pour la dynamique), le calcul des variations (Bernouilli, Euler), EDP et EDO afin de résoudre des problèmes physique (à la base), l'analyse fonctionnelle (beaucoup influencée par les débuts de la mécanique quantique), ... Tous les grands mathématiciens historique (près XXème) étaient également physicien. (D'ailleurs la distinction est relativement récente)

Je ne dis pas que les mathématique sont la physique, mais que la physique est à la base de bien des concepts et théories mathématiques. Je pense qu'à l'avenir la biologie aurait également énormément d'influence sur les math, tout simplement parce que c'est un domaine non encore mathématisé qui va surement demander de nouveaux outils pour se developer.

Il est par contre vrai que certains domaines des math se sont développés seul, théorie des nombres, algèbre...

Bref, en résumé je pense qu'i est très prétentieux de dire que les math se développe seul que les autres sciences viennent à genoux supplier le Dieu mathématicien de bien vouloir l'aider. Il y a une interaction très constructive entre les différentes sciences et c'est ce qui fait que personne n'est vraiment indépendant.

[Ben314]

Bonsoir,
Personellement, je pense que, comme toujours, il faut faire la part des choses, UNE PARTIE (grande ou pas ?) des mathématique est née de problèmes physiques (comme switch_df, le premier exemple qui me vient à l'esprit est celui du calcul différentiel), mais il est aussi assez intéressant de voir que certains domaines des mathématiques sont apparues comme des questions "de math. pures" (je veut dire par là sans applications à la physique ou biolo...) puis, certaines d'entre elle ont trouvées des applications : je donnerais 2 exemples (je risque de me faire reprendre par des personnes ayant une plus grande culture que moi de l'histoire des sciences)

I) Le cinquième postulat d'euclide : Des générations de matheux on cherché à montré qu'il découlait des autres postulats. Pensait-ils que cela pourrait un jour être utile pour autre chose que pour "l'honneur de l'esprit humain" ? Or, c'est en partie cette question qui à conduit à trouver des géométries non euclidiennes qui ont finies par être le support de ... la relativité générale.

II) Est ce que le premier à avoir découvert le "petit théorème de fermat" avait ne serait-ce qu'un début d'idée d'une application "pratique" de ce théorème ? (il est aujourd'hui la base du système de cryptage RSA,...)

Je voulais aussi dire que, en ce qui me concerne, je n'ai absolument pas besoin de savoir qu'un résultat (ou une théorie) mathématique est utile pour le (la) trouver extrèmement jolie :
Faut il trouver un lien entre une vrai bataille et les règles de déplacement des pièces aux échec pour trouver le jeux d'échec interessant ?
ou bien suffit-il de constater qu'avec ces règles là, le jeu est passionnant ?

[busard_des_roseaux]

pas besoin de savoir qu'un résultat (ou une théorie) mathématique est utile pour le (la) trouver extrèmement jolie :

un peu comme les femmes, somme toute :we: