Réduction des endomorphismes

[lieutenant R]

Salut à tous j' ai une question bete à poser sur la réduction des endomorphismes,

" Si A admet n valeurs propres distinctes alors A est diagonalisable "


Mais si A admet des valeurs propres doubles que faut- il faire ? Suffit- il juste de vérifier que la dimension de l' espace propres en question est de dimension 2 ?

Autres question

Comment faire pour trouver le polynomes minimal par le calcul ?

Merci à vous Raphael

[skilveg]

Oui, dans ce cas vérifier que les sous-espaces propres correspondants sont de la dimension maximale possible (2) suffit; pour le voir regarde ta matrice dans une base de trigonalisation, le fait que ces dimensions valent 2 signifie exactement que les blocs correspondant à la valeur propre considérée sont diagonalisables (arrêtez-moi si je me trompe...)

Pour le polynôme minimal je ne sais pas trop; une façon de faire serait de factoriser le polynôme caractéristique et de regarder tous ses diviseurs, mais ce n'est pas très algorithmique; une autre serait d'utiliser la réduction de Jordan pour laquelle le calcul est facile. Algorithmiquement, je ne sais pas combien coûte une réduction de Jordan...

[skilveg]

Un célèbre moteur de recherche donne pas mal de réponses... Tu as ici une description d'une méthode probabiliste qui doit presque toujours marcher:
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/tpmias2003/miastp56_2003/node8.html
Voilà, bonne recherche!