Réduction des endomorphismes

[capitaine nuggets]

bonjour, j'aurais besoin d'aide sur le problème suivant :

(On commence par une batterie de données...)

- On se place sur un -espace vectoriel, où est un corps, et un endomorphisme de .

- Soient polynômes deux à deux premiers entre eux ; on suppose que annule ,
si bien que l'on a la décomposition .

- Pour , on note le projecteur sur parallèlement à et
on note .

(Ouf...)
Voici la première question :

1) On me demande de justifier l'existence de polynômes tels que .

Je vois pas comment commencer...
Ca ressemble à une identité de Bézout, mais j'arrive pas à voir l'astuce

Merci d'avance pour toute aide :+++:

[Ben314]

Salut,
Y'a pas "d'astuce" : si tes polynômes sont deux à deux premier entre eux, ça implique que les polynômes sont globalement premier entre eux et tu conclue à l'aide de Bézout.

[capitaine nuggets]

Salut,
Y'a pas "d'astuce" : si tes polynômes sont deux à deux premier entre eux, ça implique que les polynômes sont globalement premier entre eux et tu conclue à l'aide de Bézout.

Oui, j'ai pensé à ça mais, j'ai du mal à voir pourquoi "les polynômes sont deux à deux premier entre eux" implique "les polynômes sont globalement premier entre eux"...
Quel sens donnes-tu à "globalement et pourquoi "globalement" ?

[Ben314]

Oui, j'ai pensé à ça mais, j'ai du mal à voir pourquoi "les polynômes sont deux à deux premier entre eux" implique "les polynômes sont globalement premier entre eux"...
Quel sens donnes-tu à "globalement et pourquoi "globalement" ?

Le "globalement" et le "deux a deux", ça vient du fait que je n'écrit jamais "Soient ?,?,?,...,? des éléments premiers entre eux" vu que je trouve que ça risque d'être ambigüe donc je met toujours soit "deux à deux", soit "globalement", sachant que :
- ?,?,...,? sont deux a deux premiers entre eux signifie que, quelque soit les deux (distincts) que l'on prend, ces deux là auront un pgcd=1.
- ?,?,...,? sont globalement premiers entre eux signifie que, le pgcd de l'ensemble de tout les éléments est 1.
Par exemple (pour faire un peu comme ton truc), 3,4,5,7 sont deux a deux premiers entre eux, mais 60,84,105,140 ne sont que globalement premier entre eux et pas du tout 2 a 2 premiers entre eux.

Et concernant ton exo., pour montrer que les sont globalement premier entre eux, suppose qu'il existe un polynôme irréductible qui les divise tous et... montre que c'est contradictoire avec l'hypothèse que les sont 2 à 2 premiers entre eux.

[capitaine nuggets]

Le "globalement" et le "deux a deux", ça vient du fait que je n'écrit jamais "Soient ?,?,?,...,? des éléments premiers entre eux" vu que je trouve que ça risque d'être ambigüe donc je met toujours soit "deux à deux", soit "globalement", sachant que :
- ?,?,...,? sont deux a deux premiers entre eux signifie que, quelque soit les deux (distincts) que l'on prend, ces deux là auront un pgcd=1.
- ?,?,...,? sont globalement premiers entre eux signifie que, le pgcd de l'ensemble de tout les éléments est 1.
Par exemple (pour faire un peu comme ton truc), 3,4,5,7 sont deux a deux premiers entre eux, mais 60,84,105,140 ne sont que globalement premier entre eux et pas du tout 2 a 2 premiers entre eux.

Ok.

Et concernant ton exo., pour montrer que les sont globalement premier entre eux, suppose qu'il existe un polynôme irréductible qui les divise tous et... montre que c'est contradictoire avec l'hypothèse que les sont 2 à 2 premiers entre eux.

Supposons qu'il existe un polynôme irréductible tel que divise tous les . Dans ce cas, il divise tous les . Après je ne sais pas si j'ai bon, mais vu que est un corps, et que est irréductible, on en déduit que divise un des dans chaque . Après je ne vois pas comment poursuivre...

[Ben314]

Supposons qu'il existe un polynôme irréductible tel que divise tous les .
Alors, en particulier il divise donc, comme il est irréductible, il divise un certain où .

Sauf que (ah ah ah...) vu que divise tous les , il divise ce qui signifie qu'il divise aussi un certain avec -> BLING !

[capitaine nuggets]

Supposons qu'il existe un polynôme irréductible tel que divise tous les .
Alors, en particulier il divise donc, comme il est irréductible, il divise un certain où .

Sauf que (ah ah ah...) vu que divise tous les , il divise ce qui signifie qu'il divise aussi un certain avec -> BLING !

Ah ok :+++:
J'ai compris :we:

On peut donc passer à la seconde question :
2) Montrer que pour tout , .
Là c'est le blocage total...

[Ben314]

Tu applique l'endomorphisme à
sachant que, par définition de ,

[capitaine nuggets]

Tu applique l'endomorphisme à
sachant que, par définition de ,

Ok, c'est bon :+++:

3) On suppose maintenant que avec .
a) Comment justifier que l'on peut calculer en décomposant en éléments simples.