Récurrence

[normo]

Bonjour,
j'essaye de démontrer cette formule par récurrence et donc pour l'héréditer j'ai besoin de la dériver mais j'ai beaucoup de mal à la dériver du fait de sa lourdeur, de ses x et de ses n...
(Vx E D) f^(n)(x)= (Pn(x)/((x²-1)^2n))*exp(1/(x²-1))

Donc svp, j'aimerais savoir que vaut: ((x²-1)^2n)*(x²-1)²
et également ((x²-1)^2n)², pour moi c'est égale à (x²-1)^4n

Merci de votre aide.

[fahr451]

(x^a)^b= x^(ab) , (x^a).(x^b) = x^(a+b)

[normo]

Merci beaucoup, pardon de mon ignorance...

[normo]

Mais ças ne m'aide pas je tombe sur (A et B des expressions algebriques) A/(x²-1)^4n + B/(x²-1)^2n+2 et si je met au même dénominateur je vais pas m'en sortir, il faut que je mette au même dénominateur ou je m'embourbe svp

[maturin]

si ça peut t'aider voilà mes calculs









donc pour que ta formule soit juste il faut que

[normo]

Le degré de Pn c'est 1?
Et après on me demande le coefficient de son terme de plus haut degré...

[maturin]

pour que cette formule soit aussi vraie pour n+1 il faut que



et pour que ça coincide avec mon calcul il faut que


maintenant je ne sais pas ce qu'on te donne dans l'énoncé.
est-ce qu'on te donne la fonction f ? est ce que Pn est défini par les dérivées nieme de f comme la formule le laisse sous entendre ?

si j'écris
alors avec ma formule je trouve que Pn+1(x) est un polynome de degré 4 dont le coeficient des est donc si je me suis pas trompé dans mes calculs il n'y a pas de raison pour que Pn(x) soit de degré 1.

[normo]

dans mon énoncé Pn est défini par les dérivées nieme de f .
On me demande aussi :Pn(-1) et Pn(1)
C'est an(-1)+bn et an(1)+bn?

[maturin]

et c'est quoi la fonction f ? c'est exp(1/(x²-1)) ?

[normo]

f(x)= (Pn(x)/((x²-1)^2n))*exp(1/(x²-1))

j'ai bon pour avant?

[maturin]

je croyais que c'était la définition de la dérivée nieme de f ça.

et on te définit P en fonction de f ou l'inverse ?

[normo]

zut! f(x)=exp(1/x²-1) effectivement et on me donne ça et la relation de récurrence dans mon énoncé c'est tout pas de P

[maturin]

Si

Alors tu as bien



où Pn(x) est un polynôme définit par la relation de récurrence suivante



ça c'est ce qu'on a démontré.

Maintenant cette relation de récurrence n'est pas simple.
Et Pn(x) n'est pas un polynôme de degré 1.

Par contre pour calculer Pn(1) c'est facile car tu as Pn+1(1)=-2Pn(1) et P0(1)=1
donc Pn(1)=(-2)^n et tu trouves la même chose pour Pn(-1) d'ailleurs.


Maintenant je me suis peutêtre trompé dans mes calculs mais ça m'étonnerait qu'on tombe sur un polynôme de degré 1.

[normo]

non mais je pense que c'est plutôt moi:) qui me suit trompé