Récurrence

[pianozik]

bonjour tt le monde, s'l vous plaît, comment vais-je démontrer par récurrence ça
Soit a un réel strictement supérieur à 1
Montrer que pour tout entier naturel non nul n, il existe z strictement supérieur à 1 tel que est inférieur ou égal à a.
Pour la première étape, càd pour n=1, on prend z=a, mais pour n+1 je ne sais pas comment raisonner
Merci en avance

[yos]

Tu tiens vraiment à le faire par récurrence? Parce que selon moi, c'est pas le bon point de vue.

[pianozik]

c'est pas mon point de vue non plus, il s'agit d'un DL et il y a une remarque en bas (raisonner par récurrence sur n)
Enfin, j'ai pû le faire, quand on vérifie pour n=1, j'ai dit je prend a=z
puis, quand on suppose qu'il existe un z strictement supérieur à 1 tel que est inférieur ou égal à a, je suis pas obligé de choisir le même z, je peux démontrer l'existence d'un autre k qui vérifie est inférieur ou égal à a

[yos]

C'est clair que ton z dépend de n. Faudrait le noter .
Cela dit, tu veux , ce qui équivaut à . La fonction racine nième est strictement croissante, donc . Il te suffit de prendre ton z entre 1 et .
Je le redis, il n'y a pas lieu de faire une récurrence et je n'ai utilisé que des notions du lycée.

[pianozik]

ça c'est une méthode, par récurrence c'est une autre méthode, et j'ai trouvé le résultat, sauf qu'avec la récurrence c'est long, comme vous aviez dit. Pourquoi les prof mettent des indications qui sont long alors qu'il y a des chemins raccourci ?!!!!!!!! le fait de l'indiquer bloque l'élève sur la méthode indiquée !!!
Merci pour l'aide.