Récurrence

par **Sky29** » 01 Sep 2010, 16:11

Voila bien un thème ou j'éprouve le plus de difficultées,

Montrer par réccurence que :

Somme (k=1 à k=n) de k(k!) = 1(1!)+2(2!)+...+n(n!)=(n+1)!-1

par **MacManus** » 01 Sep 2010, 16:18

Bonjour

Eh bien quelles sont les étapes d'une démonstration par récurrence ?
(la récurrence se fait sur l'entier n > 0)

par **Sky29** » 01 Sep 2010, 16:25

1) Initialisation : On montre que la formule est valable au rang 1, ce qui est le cas

2) Démonstration de la formule au rang n+1
Mais c'est la que j'ai un soucis.

3) Conclusion

par **Sky29** » 01 Sep 2010, 16:31

Sn = (n+1)!-1
Sn+1 = (n+2)!-1 ?

par **MacManus** » 01 Sep 2010, 16:32

Ok pour l'initialisation.

on suppose la formule vérifiée au rang n > 0.
Au rang n+1, on écrit :

ok ? essaye de continuer !

par **MacManus** » 01 Sep 2010, 16:33

Sky29 a écrit:Sn = (n+1)!-1
Sn+1 = (n+2)!-1 ?

oui c'est ce résultat que tu dois montrer. C'est bien d'écrire hypothèse et résultat sous les yeux!

par **Sky29** » 01 Sep 2010, 16:33

Merci en tout cas, je vai voir ca.

par **Sky29** » 01 Sep 2010, 16:57

J'ai divisé cette somme en deux sommes, l'une avec k(k!) et l'autre avec (n+1)(n+1)!
Dites moi si c'est le bon chemin, parceque après ca j'ai ésaille d'autres calculs cela ne me mène à rien...

par **MacManus** » 01 Sep 2010, 17:02

(je ne sais pas si tu as vu le post #5)...
La dernière égalité est justifiée en utilisant l'hypothése de récurrence (au rang n).

par **fatal_error** » 01 Sep 2010, 17:04

salut,

j'avais vu une astuce je crois que c'est nuage mais je sais plus.
Ca consistait à ecrire
kk! = (k+1-1)k! = (k+1)! - k!

par **Sky29** » 01 Sep 2010, 17:08

J'ai vu le post 5, je suis arrivé à la même chose que vous, à savoir,
(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!, à la suite de ca, j'ai factorisé par (n+1)! pour obtenir,
(n+1)!(n+2)-1

par **MacManus** » 01 Sep 2010, 17:10

à Fatal_error
ouais ça roule tout aussi bien!

par **MacManus** » 01 Sep 2010, 17:11

Sky29 a écrit:J'ai vu le post 5, je suis arrivé à la même chose que vous, à savoir,
(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!, à la suite de ca, j'ai factorisé par (n+1)! pour obtenir,
(n+1)!(n+2)-1

Ok eh bien c'est fini !
et oui : (n+2)(n+1)! = (n+2)!

par **Sky29** » 01 Sep 2010, 17:17

Le soucis est que mon prof de Terminale ne c'est pas attardé sur ce genre de calcul, pourriez vous m'expliquer pourquoi : (n+2)(n+1)! = (n+2)!
Parceque là je nage dans le flou total

par **AL-kashi23** » 01 Sep 2010, 17:37

Sky29 a écrit:Le soucis est que mon prof de Terminale ne c'est pas attardé sur ce genre de calcul, pourriez vous m'expliquer pourquoi : (n+2)(n+1)! = (n+2)!
Parceque là je nage dans le flou total

Par définition ? (n+2)!=(n+2)*(n+1)*n*(n-1).....*3*2*1=(n+2)*(n+1)!

par **Sky29** » 01 Sep 2010, 18:36

Merci à tous ceux qui m'ont donné des explications.
Cependant, je ne réussi pas à comprendre le principe que tu m'as montré Al-kashi23, aurais tu un site à me proposer ou je puisse revoir tout cela stp.

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