Récurrence de sommes

[Waddafox]

Bonjour, je planche sur une récurrence où je dois montrer que :

Cependant, dans l'hérédité, je me retrouve, en partant du terme en n+1, avec :

Il suffirait pour que je prouve P(n+1) que cette somme est supérieure à ma somme initiale et que le terme que j'ai là est supérieur à n/2 sauf que c'est tout l'inverse et donc je suis perdu !

Merci d'avance pour vos pistes éventuelles !

[aviateur]

Bonjour
Je ne vois pas pourquoi faire une récurrence ici. Une démonstration directe est +adaptée (comme par exemple montrer que la somme 2 termes symétriques par rapport au milieu est >=1)

[Waddafox]

Merci pour votre aide mais je n'ai pas le choix des moyens : je suis obligé de faire une récurrence donc si vous aviez une piste sur une résolution possible dans l'hérédité...

[pascal16]

la borne de la somme varie aussi


=


et là ça doit passer avec l'HR

[Sa Majesté]

et là ça doit passer avec l'HR

Sauf que les inégalités ne sont pas dans le bon sens.

[Waddafox]

C'est mon problème depuis le début oui, mais merci pour vos réponses

[pascal16]

...
Sauf que les inégalités ne sont pas dans le bon sens.

c'est un détail

Au tableur, ça a l'air d'être vrai, mais je n'arrive touours pas à lier 1+ √(k*n) à 1 + √(k(n+1))

[aviateur]

Bonjour, peut être qu'il y a une récurrence possible mais vraiment je ne vois pas.
Je me demande qui a pondu cette exigence. En effet l'inégalité est relativement facile à démontrer.
Il faut avoir l'esprit tordu de demander de faire une démo par récurrence où visiblement l'implication "P(n) implique P(n+1)" n'est pas triviale ou pas naturelle.
Je serai très curieux de voir cette démo par récurrence!!!!

Tout se passe comme si on demandait de démontrer par récurrence que pour tout n :
1+1/n>1.

[Sa Majesté]

...
Sauf que les inégalités ne sont pas dans le bon sens.

c'est un détail

Tu plaisantes je suppose ?

[pascal16]

Y a que moi que fait rire ?

en plus, ça ne permet même pas un encadrement.

[Ben314]

Salut,
Pour tout , on a :
.


.

[Waddafox]

Merci pour votre aide Ben mais je ne comprends pas comment vous obtenez le deuxième membre de votre première inéquation... pourquoi votre 1/sqrt(n) n'est pas transformé en 1/sqrt(n-1) ?

[Ben314]

Merci pour votre aide Ben mais je ne comprends pas comment vous obtenez le deuxième membre de votre première inéquation... pourquoi votre 1/sqrt(n) n'est pas transformé en 1/sqrt(n-1) ?

Ben tu vois, moi, c'est exactement le contraire que je comprend pas : pourquoi diable voudrait tu que le 1/sqrt(n) soit "transformé" en 1/sqrt(n-1).
C'est pas de l'alchimie qu'on fait (où on cherche à transformer du plomb en or), mais des maths où on ne "transforme " rien en rien. Tout ce qu'on fait, c'est d'appliquer des règles et, en l'ocurence, les règles concernant les inégalités (toutes vues au collège) et je voudrais bien savoir en vertu de laquelle de ces règles vues au collège tu voudrait "transformer" le 1/sqrt(n) en 1/sqrt(n-1) ?

[Waddafox]

En vertu de ce qu'on recherche u(n-1) donc les n doivent être remplacés par n-1

[Ben314]

Parce que moi, le raisonnement que j'ai tenu (et pas la "transformation" que j'ai faîtes) pour obtenir la fameuse inégalité c'est ça :
(connu et évident)
(car )
(car la fonction est croissante sur [0,+oo[ et que les deux sont )
(car la fonction est décroissante sur ]0,+oo[ que les deux sont )
pour tout (car )
(car la fonction est décroissante sur ]0,+oo[ que les deux sont )
(car si A>B ; A'>B' ; A">B" ; . . . alors A+A'+A"+...>B+B'+B"+...)
(car si A>B et C>0 alors CA>CB)
(car si A>B alors C+A>C+B)

Et compte tenu de ce qu'il y a en rouge, j'aimerais bien que tu m'explique ce qui te passe par la tête pour considérer que "ça serait plus normal" de remplacer le par un ce qui consisterais à ne pas multiplier par la même chose les deux membres de l'inégalité.

[Ben314]

Le truc que j'ai pas écrit vu que ça me semblait évident, c'est ça :
.
Où, là, effectivement, lorsque j’écris que , il s'agit bien d'une substitution dans la définition de (*) mais, partant de l'égalité bleue, si je veut que ça continue à être égal, ben faut bien évidement que je multiplie par la même chose des deux cotés !!!

(*) Définition de qui, si l'énoncé était rédigé correctement et pas de façon dégueulasse, devrait évidement être "pour tout entier naturel non nul n on pose Un=..." permettant en particulier de comprendre pourquoi le de cette formule peut être remplacé par n'importe quel entier non nul, en particulier par si

[Waddafox]

Le truc c'est que si l'on part de Un eh bien on n'est obligé d'écrire 1/sqrt(n-1) et pas comme tu l'as fait.. on part ici de la somme directement et pas de k ou de sqrt(k)... et le pr tt entier n sup à 1 est précisé évidemment dans l'énoncé. Je comprends ton raisonnement mais je ne pense pas que c'est ce que je doive faire.. merci quand même et tu feras attention tu as écrit 0 > 1 (connu et évident)

[Ben314]

Le truc c'est que si l'on part de Un eh bien on n'est obligé d'écrire 1/sqrt(n-1) et pas comme tu l'as fait..

Je comprend toujours pas un traitre mot de ce que tu raconte.
En quoi "est-on obligé" d'écrire je sais pas quoi ? C'est qui ou quoi qui, selon toi, "oblige" à . . . ?
Dit autrement, selon toi, où ai-je appliqué autre chose qu'une règle bien connue concernant les inégalités ?

. . . je ne pense pas que c'est ce que je doive faire . . .

Et concernant ça, comme dirait l'autre, ben . . . qui vivra verra.
Mais j'aimerais VRAIMENT BEAUCOUP que tu revienne poster pour, justement, qu'on puisse voir ce qui était attendu comme raisonnement dans ce fameux exercice.

[pascal16]

.

arrivé là, je m'étais dit "mais ça sert à rien comme transformation"