[PCSI] récurrence problématique

[Knight-T]

Bonjour ! J'espère que quelqu'un pourra m'aider sur cet exercice ^^'

Voici la question finale de mon exercice : Montrer que n! supérieur ou égale à e(e/n)^n pour tout n€N*.

J'ai commencé par dire que (n+1)! = n!*(n+1)
Ce qui donne (n+1)! > (n+1)e(n/e)^n
(n+1)! > (en + e)(n/e)^n
Et c'est un peu là que je bloque, je n'arrive pas à transformer ceci en e[(n+1)/e]^n+1 :/ Je suis surement mal parti :/

Pour information, c'est la 3eme question d'un exercice, auparavant j'ai dû prouver que ln(1+x) < x et que (1+1/n)^n < e

Merci d'avance !

[girdav]

Bonjour.
Tu es sûr de ton inégalité?
Elle me semble fausse pour et .

[Knight-T]

Oups j'ai fais une petite inversion! C'est n! > ou égale à e(n/e)^n pour tout n€N*
Excusez-moi !

[Nightmare]

Salut !

On veut montrer que

Après simplification, cela revient à montrer que , rien de bien compliqué :happy3:

[Knight-T]

Merci ! Mais je n'arrive pas à obtenir ton résultat final en simplifiant, il doit y avoir une règle de calcul qui me passe sous le nez...si tu pouvais me donner un petit indice :s