Récurrence linéaire d'ordre 1

[Paul339]

Bonjour!

je suis bloqué sur un exercice sur les récurrences linéaires d'ordre 1. Voici l'énoncé:

Soit (Un) définie par Un+1=5(Un)^3 et U1>0
Exprimer Un en fonction de n.

J'ai essayé d'utiliser la fonction logarithme et de poser la suite Vn=ln(Un)
J'obtiens Vn+1=3Vn+ln(5)
En appliquant le théorème de l'expression du terme général j'obtiens: Vn=A^n*B

Je suis ensuite revenu à l'expression de (Un) mais je n'arrive pas à utiliser la condition de l'énoncé pour exprimer les constantes multiplicatives


Merci d'avance pour votre aide et vos conseils!

[mathelot]

bonsoir,
par récurrence, on montre que

[LB2]

Bonsoir,

attention ton Vn n'est pas géométrique mais arithmético géométrique, ta formule explicite pour le terme général est donc fausse.
Tu peux te ramener par translation à une suite géométrique en posant Wn = Vn + a avec a bien choisi.
et résoudre ainsi la récurrence.

[Paul339]

bonsoir,
par récurrence, on montre que

Merci pour votre réponse
Comment êtes-vous arrivé à une telle expression?

[Paul339]

Bonsoir,

attention ton Vn n'est pas géométrique mais arithmético géométrique, ta formule explicite pour le terme général est donc fausse.
Tu peux te ramener par translation à une suite géométrique en posant Wn = Vn + a avec a bien choisi.
et résoudre ainsi la récurrence.

Merci pour votre réponse

Effectivement j’ai fais une faute de frappe. J’obtiens bien Vn=(A^n)*B+C
Je n’arrive pas à exprimer A, B et C grace à la condition U1>0

[mathelot]

bonsoir,
par récurrence, on montre que

Merci pour votre réponse
Comment êtes-vous arrivé à une telle expression?

bonjour,
en calculant les premiers termes de la suite:






on voit que est de la forme:


où est une suite à valeurs entières arithmético-géométrique vérifiant


on peut ainsi déterminer la formule pour la suite , il faut calculer le point fixe en résolvant l'équation x=3x+1 et se ramener à une suite géométrique en posant

[mathelot]

J'ai essayé d'utiliser la fonction logarithme et de poser la suite Vn=ln(Un)
J'obtiens Vn+1=3Vn+ln(5)
En appliquant le théorème de l'expression du terme général j'obtiens: Vn=A^n*B

on a la formule de récurrence:


on cherche le point fixe , racine de l'équation:


soit

on a les deux égalités:



en soustrayant membres à membres:


la suite est donc géométrique de raison 3 et de 1er terme

d'où


en passant à l'exponentielle (on sait que pour les réels a et b):


soit: