Récurrence forte

[Manny06]

Bonjour, ça fait deux jours que je me prend la tête pour un exercice et je suis sûre que c'est tout bête donc voilà j'espère que quelqu'un pourra m'aider.

Soit (un) définie par u0 = 1 et un+1 = somme de k=0 à n de uk
Vérifier que pour tout n sur N*, un = 2^n-1

Donc j'ai commencé par l'initialisation en 1 ... donc P(1) est vraie. Puis l'hérédité : montrons que si P est vraie jusqu'au rang n, alors P(N+1) l'est aussi, i.e un+1 = 2^n

Donc un+1 = somme de uk et j'arrive pas à développer de sorte à retrouver 2^n.

Voilà j'espère que quelqu'un pourra me donner une piste. Sur ce, bonne journée.

on suppose que Un=2^(n-1)
dans Un+1,somme de n+1 termes ,la somme des n premiers est Un et le dernier Un donc Un+1=2Un

[Manny06]

Je suis désolée mais je comprend toujours pas. En fait la somme de k=1 à n des Uk = Un? mais dans ce cas Un+1 = 2^n-1 sauf que je veux 2^n. En fait j'arrive pas à modifier ma somme, je sais pas trop comment commencer.

Un+1=somme de k=0 à n de Uk

Un=somme de k=0 à (n-1) de Uk
donc Un+1 =Un+Un

[globule rouge]

Je suis désolée mais je comprend toujours pas. En fait la somme de k=1 à n des Uk = Un? mais dans ce cas Un+1 = 2^n-1 sauf que je veux 2^n. En fait j'arrive pas à modifier ma somme, je sais pas trop comment commencer.

salut et bienvenue Célia =)

Si je peux me permettre.
L'initialisation est bonne, et pour commencer l'hérédité :

"Supposons que P : " est vraie.
Montrons qu'à un rang supérieur, .
Or, , d'après l'hypothèse de récurrence énoncée ci-dessus.
Par hypothèse, donc, .
La propriété est vérifiée au rang n+1 lorsqu'elle est vraie au rang n et pour tout k inférieur ou égal à n, k appartient à N* : elle est héréditaire.
Pour tout n de N*, nous avons donc "

Je ne fais que résumer mathématiquement ce qu'a dit Manny.
J'espère t'avoir aidé à comprendre =)

Julie