Récurrence avec intégration et série.

[Chameley]

Bonsoir,

je voudrais que quelqu'un m'aide si possible, j'écrirai ce que j'ai effectué comme opérations après l'énoncé:

Soit In=intégrale de 0 à 1 de [(x^2n+1)/(1+x^2)]*dx avec I1 que l'on a calculé au préalable et qui fait (1-ln2)*1/2.
Montrer par récurrence que quelque soit n appartenant à l'ensemble N privé de 0,
2[(-1)^n-1]*In = Somme de k=1 à n de [(-1)^k-1/k] - ln2

Donc voilà ce que j'ai fait :

Initialisation: pour n=1

2*(1/2)*(1-ln2)=1-ln2
Somme de k=1 à 1 de [(-1)^k-1/k] - ln2 = 1-ln2. Donc ok pour l'initialisation.

Hérédité : Soit j un entier .... tel que [2(-1)^j-1]*Ij = Somme de k=1 à j de [(-1)^k-1/k] - ln2

Ensuite au rang j+1 on trouve 2*[(-1)^j]*Ij+1 = 2Ij+1 (étant donné que la puissance est paire, alors -1^j=1 non ?)
Et pour la somme, on détache juste le dernier terme (càd 1/j+1) et on remplace le reste par notre hypothèse de récurrence, mais je ne vois pas très bien où cela peut-il bien me mener ...


Si quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait, ça serait très gentil, bonne soirée et merci d'avance :happy2: .

[Ben314]

Salut,
Il doit manquer un truc dans ton énoncé vu que, si , il me semble bien que

P.S. : met toi au MimeTeX...

[Chameley]

Bonjour,

In est égale à intégrale de 0 à 1 de [x^2n+1]1+x^2 dx , autrement dit le numérateur de la fonction f est x^2n+1
Je suppose que MimeTeX permet de réaliser des intégrales, sommes etc sur l'ordinateur ? Ca me simplifierait la vie ! Je vais me renseigner, merci.

[paquito]

En fait:

[Chameley]

Oui paquito et bonjour, désolé j'ai regardé MimeTeX, mais je n'ai pas trop eu le temps de m'en servir.
Du coup je n'ai toujours pas trouvé comment mener cette récurrence, pourriez-vous me donner un petit indice ?

[paquito]

On a :

;

après c'est de la rigolade...

[Ben314]

Dans ce cas,

Voir même utiliser directement la division euclidienne polynomiale :

[Chameley]

Merci paquito et Ben314, mais ... j'ai les idées un peu confuses (je n'ai toujours pas téléchargé mimetex, désolé).
Une fois Ij+1 (la variable que j'ai prise est j pour changer de n) trouvé, on se retrouve avec 2*[(1/2(j+1)) - Ij] = [ 1/(j+1) ] - 2Ij, c'est bien ça ? Mais que cela apporte t-il pour la suite de la récurrence ?

[Chameley]

Et j'en rajoute un peu (là, je suis en difficulté) : toujours sur le même exercice et juste après cette question, en déduire lim lorsque n tend vers plus l'infini de la somme de k=1 à n de [(-1)^k-1]/k (autrement dit déterminer la somme de la série harmonique alternée).
Et ensuite un problème d'intégration par partie (question d'après) :
A l'aide d'une intégration par parties, monter que In = [1/4(n+1)] + [1/n+1]*intégrale de 0 à 1 de [(x^2n+3)/(1+x^2)^2]dx
J'ai fais la chose suivante : u' = x^2n+1 et donc u=[1/(2n+2)]*x^2n+2
et v=1/1+x^2 et donc v' = -2x(1+x^2)^2

Mais je me retrouve au final avec [1/4(n+1)] - intégrale de 0 à 1 de
[ [1/2n+2]*x^2n+2 * -2x/(1+x^2)^2 ] dx

[paquito]

Ton énoncé est toujours aussi mal écrit, ton hypothèse de récurrence( avec n; pourquoi j!) s'écrit:

; on a alors:

; voila.

Après on a

Il est clair que et

donc avec en prime le reste sous forme intégral!

[Chameley]

D'accord, j'ai compris le raisonnement, merci !
Par contre dans mon hypothèse de récurrence, c'est (-1)^n-1 et non pas -(1)^n-1, mais bon j'ai compris ce que je dois faire.

Et pour l'intégration par parties, où donc me serais-je trompé ?

[paquito]

Tu pose; ça donne:



ça marche!!