Récurrence avec des polynômes

[redyt]

Bonjour, j'ai un exercice sur les polynômes dont le but est de déterminer les polynômes P[X] vérifiant l'égalité (*) :
(*) : P(X)*P(X+2)+P(X²)=0

Voilà les questions :

1) Déterminer les polynômes de degré <1 qui vérifient (*)
ça j'ai réussi le polynôme nul convient et pour le degré 0, le polynôme constant P(x)=-1

2) Soit P un polynôme de degré 1
a)i) montrer que a² racine de P sachant que a est racine de P
ça aussi j'ai réussi on remplace dans (*) et on a : 0*P(a+2)+P(a²)=0 soit P(a²)=0 d'où a² racine

ii) En déduire que pour tout n entier naturel , a^2n est racine de P
Je me doute qu'il faut faire une récurrence mais je n'arrive pas à la mener : pour l'initialisation, la proposition est vrai au rang 1, je pose donc comme hypothèse de récurrence qu'il existe un rang n pour lequel a^2n est racine mais je n'arrive pas à montrer sous cette hypothèse que a^2(n+1) l'est aussi j'ai déjà essayé de partir de l'hypothèse de récurrence ou de montrer que P(a^2(n+1))=0 mais sans succès. Je me suis alors dit qu'il fallait utiliser l'égalité (*) mais je n'ai pas trouvé non plus.


L'exercice comporte également d'autre questions après qui sont censées "être plus dure" selon ma profs que j'ai pourtant réussi à résoudre, lorsque je lui ai demandé un indice sur cette récurrence, elle m'a dit que c'était "évident" et qu'il fallait que je "réfléchisse vraiment"
Je me tourne donc vers vous, peut-être que j'ai oublié d'utiliser une donnée de l'énoncé mais comme vous pouvez le constater celui-ci est bien maigre, je ne vois pas ce que j'ai pu manquer.

[Monsieur23]

Aloha,

C'est effectivement trivial : tu vient de montrer que pour tout a, si a est racine, alors a^2 est racine aussi.

Donc si a est racine, tu peux appliquer ce résultat à a^2 qui est aussi racine : (a^2)^2 est racine.

Etc.

[redyt]

c'est donc juste une récurrence forte dont j'ai besoin ?

[redyt]

Mais du coup ça montre que si a^2n est racine (a^2n)^2 l'est aussi donc a^4n et non pas a^2(n+1) j'ai fait la même erreur en essayant de le montrer jusqu'à ce que je me rende compte que ça m'aidait pas ^^

En fait ça montre que a^2 est racine a^4 aussi, a^8, a^16, a^32 donc on oublie plein d'entier.

[Monsieur23]

c'est donc juste une récurrence forte dont j'ai besoin ?

Même pas forte, une récurrence simple suffit.

Note par exemple T(a) la proposition "si a est racine, alors a^2 aussi"

L'initialisation, c'est T(a).
L'hérédité, c'est T(a^2n).

[Monsieur23]

Mais du coup ça montre que si a^2n est racine (a^2n)^2 l'est aussi donc a^4n et non pas a^2(n+1) j'ai fait la même erreur en essayant de le montrer jusqu'à ce que je me rende compte que ça m'aidait pas ^^

En fait ça montre que a^2 est racine a^4 aussi, a^8, a^16, a^32 donc on oublie plein d'entier.

Exact, tu as raison. Je regarde.

[Monsieur23]

Bon, en fait c'est assez absurde cet exo…

Tu sais que P est de degré 1, donc tu peux l'écrire P = mX + p, avec m non nul.

Tu remplaces P par ça dans (*), et tu trouves m et p.
Tu vois que la seule racine de P, c'est 1, et donc ton résultat est trivial.


Edit : En fait, pas besoin de calculer explicitement P comme j'ai fait. D'après la question précédente, P a deux racines a et a^2. Comme P est de degré 1, elles sont forcément égales : a = a^2.

Donc a=0 ou a=1.