Réciproque de Poincaré.

[Nightmare]

Bonsoir :happy3:

En pleine révision pour mon partiel d'analyse réelle je me suis posé la question de réciproque du théorème de Poincaré.

On sait que sur un ouvert étoilé, la clôture d'une forme différentielle entraine son exactitude.

Ma question est la suivante :

On considère un ouvert U sur lequel toute forme différentielle fermée est exacte, peut-on caractériser U?

Une première idée serait d'aller chercher l'enveloppe convexe de U mais ça ne mène à rien. J'ai cru pendant un moment qu'on pouvait dire que U était homéomorphe à un ouvert étoilé mais ce n'est pas vrai non plus.

Bref, je ne sais pas vraiment si on peut trouver une "réciproque" de Poincaré de la même manière qu'on trouve une "réciproque" de Heine.

Des idées?

[Nightmare]

je corrige, les ouverts homéomorphes (même difféomorphes) à un ouvert étoilé conviennent mais je ne sais pas s'il y en a d'autres.

[Nightmare]

Je corrige une nouvelle fois après vérification, difféomorphe oui, homéomorphe non suffisant.

[skilveg]

Si je ne dis pas trop d'âneries c'est "simplement connexe" la bonne condition.

[Nightmare]

En effet la simple connexité suffit, es-tu sûr qu'elle soit nécessaire? Je pense qu'il faudrait y aller à coup de cohomologie de DR.

[skilveg]

C'est peut-être bien la bonne façon de voir les choses, je laisse les gens plus compétents en parler à ma place ^^

[Nightmare]

Je vais y réfléchir mais je me vois déjà abandonner :lol2:

Merci en tout cas. :happy3:

[Nightmare]

En gros le problème revient à caractériser U de tel sorte que .

[skilveg]

En gros

Ou pas en gros, c'est juste une reformulation. Je ne sais pas si des gens savent répondre à cette question! A l'instinct je dirais que l'implication "simplement connexe => H^1 nul" est stricte, mais je n'ai aucun argument pour ça! Si tu trouves des choses ça m'intéresse

[Nightmare]

Ou pas en gros, c'est juste une reformulation. Je ne sais pas si des gens savent répondre à cette question! A l'instinct je dirais que l'implication "simplement connexe => H^1 nul" est stricte, mais je n'ai aucun argument pour ça! Si tu trouves des choses ça m'intéresse

Oui désolé le "en gros" est un tic verbal que j'ai du mal à contrôler :mur:

[Arkhnor]

Salut. :)

Dans R^2, je pense qu'on a une réponse positive à la question.

Dans mon livre d'analyse complexe, il est fait mention du théorème suivant :

Soit U un ouvert connexe du plan complexe. Alors U est simplement connexe si et seulement si toute fonction holomorphe de U dans C admet une primitive.

Le sens direct résulte du théorème de Cauchy, l'autre sens se démontre en remarquant que cette propriété est invariante par représentation conforme, puis en montrant que l'ouvert est en représentation conforme avec le disque unité ou C, en reproduisant la démonstration du théorème de Riemann.

Après, si toutes les formes différentielles fermées d'un ouvert de R^2 sont exactes, est-ce que toutes les formes différentielles holomorphes fermées de cet ouvert vu comme un ouvert de C sont exactes, je n'en suis pas certain ...

[Nightmare]

Salut Arkhnor !

Qu'appelles-tu formes différentielles holomorphe? Je ne crois pas que ça ait du sens.

[Arkhnor]

Si E et F sont des Banach complexes, et U un ouvert de E, on dit qu'une application de U dans L(E,F) (ensemble des applications C-linéaires continues de E dans F) est une 1-forme différentielle holomorphe si est holomorphe (ie C-différentiable).

Dans le cas qui nous intéresse (E = F = C), une 1-forme différentielle holomorphe s'écrit f(z)dz, avec f holomorphe sur U, et se demander si la forme est exacte revient à se demander si f admet une primitive.

(L'expression forme différentielle holomorphe fermée est redondante dans ce cas, car une forme holomorphe à une variable est toujours fermée d'après Poincarré).

[Nightmare]

Salut Arkhnor :happy3:

Désolé pour le retard, partiels oblige.

Ok pour la définition. Donc dans R² c'est vrai, c'est déjà ça !