La recherche d'une solution

[yoo]

j'ai un probléme avec un exercice d'algébre mais ce qui m'intersse c'est pas la solution mais plutôt la démarche pour la construction de la solution


construction de la solution

Enoncé : Soit E un K espace vectoriel de dimension n .Montrer que si n est pair alors il existe un endomorphisme f de E tel que Imf=Ker de f
pour trouver cette endomorphisme voila ce que j'ai fait au brouillon (ce n'est pas la solution redigée )
n est pair n=2p
Soit (e1,.......,e2p) une base de E
Imf=Vect(f(e1),.......,f(ep))
kerf={x dans E tel que f(x)=0}
on a dim Imf=dimKerf =p
j'ai representé la matrice de u dans la base B j'ai mis au hasard Vect(ep+1,......,e2p)C keru comme dim(ep+1;......,e2p)=p
donc Vect(ep+1,....e2p)=Keru
pour avoir keru=imu il faut que Vect(f(e1)......,f(ep))=Vect(ep+1,......,e2p)
donc j'ai definie f : f(e1)=ep+1,.........f(ep)=e2p ,
f(ep+1)==f(eP+2)...............f(e2p)=O
vous pensez quoi de cette demarche et vous vous faite comment pour trouver le bon endomorphisme merci d'avance

[Zavonen]

L'idée est bonne mais il ne faut pas partir d'une base quelconque.
Si Im(f)=Kerf(f) alors par le théorème du rang
dim(Im(f)=dim(Ker(f))=dim(E)/2
Prendre une base formée de la réunion d'une base de Ker(f) avec une base d'un supplémentaire de Ker(f).
Définir f en donnant les images des vecteurs de cette base de cette base.