Recherche d'une solution pour a^2 + b^4 = c^4

[abc]

Bonjour,
J'ai cherché une solution à l'équation a^2 + b^4 = c^4 jusqu'à c^4 égal à 10^14 sans rien trouver. Sait on s'il existe des solutions à cette équation?
Merci!

[Pisigma]

Bonjour,

voir quelques exemples ici https://www.wolframalpha.com/input?i=solve+a%5E2%2Bb%5E4%3Dc%5E4+over+the+integers

(en appuyant sur "More solutions" dans Wolfram, tu peux en obtenir plein d'autres

[tournesol]

est résolue.

]Aucune des composantes des solutions ne doit être nulle sinon c'est trivial.

[abc]

Bonjour,
Sait on s'il existe des solutions pour l'équation a^2 + b^4 = c^4 si a, b et c sont des entiers positifs? J'ai cherché une solution à cette équation jusqu'à c^4 égal à 10^14 sans rien trouver.
Merci!

[Pisigma]

si a, b et c sont des entiers positifs ; tu ne l'avais pas dit, même si on s'en doutait

[abc]

J'ai posé cette question car j'ai vu dans le site de Villemin qu'il n'y a pas de solution pour E442 (a^4 + b^4 = c^2) lorsque a, b et sont entiers. Comme je n'ai pas trouvé de solution pour E424 et E244 je suis tenté de conjecturer que si on a deux exposants ou plus dans le triplet il n'y a jamais de solution.
http://villemin.gerard.online.fr/Wwwgvm ... Fer422.htm

[tournesol]

Je pense que E244 et E 424 sont faciles à résoudre en utilisant la résolution de u^2+v^2=w^2 .

[abc]

Non, ce n'est pas facile car un carré n'est pas nécessairement un bicarré. Bien que 16 soit un carré (4^2) et un bicarré (2^4), ce n'est pas le cas de 25 qui est simplement un carré (5^2).

[tournesol]

En d'autres termes ta question est:
Existe-t-il au moins une différence entre deux bicarrés différents qui est un carré?

[abc]

Non, car on sait qu'il est impossible d'avoir "au moins une différence entre deux bicarrés différents qui est un carré" tel que je mentionnais plus haut et selon le site de Villemin. Mon interrogation vise plutôt à savoir si un bicarré moins un carré peut donner un bicarré.

[tournesol]

Ce que tu dis est équivalent à ce que j'ai dit.

[abc]

Parler de la différence entre 2 bicarrés ce n'est pas équivalent à parler de la différence entre un bicarré et un carré.

[tournesol]

ssi ssi
Pas de solution d'après Villemin.Je cherche une démo.
Démo trouvée sur un forum anglais en tapant x^4-y^4=z^2
https://math.stackexchange.com/question ... g-x4-y4-z2

[abc]

Merci pour cette information. Toutefois nous n'avons de confirmation que la démonstration proposée est correcte.