Recherche du terme général d'une suite factorielle

[Chab]

Soit q réel positif et n entier naturel. On défini la suite Sn :
Sn = (q^0)/0! + (q^1)/1! + (q^2)/2! + ... + (q^n)/n!

Je cherche à trouver le terme général de cette suite afin de pouvoir résoudre l'inégalité suivante par recurence :
(1-b)^n<=Sn où q=nb (n entier naturel et b réel positif)
Mais je ne trouve pas d'angle d'attaque intéressant jusqu'à mtn...

Merci d'avance pour votre aide !

[GaBuZoMeu]

Je ne comprends pas ta question. Tu l'as écrit, le terme général de ta suite ! Pourquoi le cherches-tu ?

Ensuite, je soupçonne que l'inégalité que tu cherches à établir est en fait (1+b)^n\leq S_n (plus au lieu de moins).
Et pour ce faire, il y a une piste claire : développer (1+b)^n = \left(1+\dfrac{q}{n}\right)^n avec la formule du binôme.

Décidément, le compilateur LaTeX du forum buggue !

[Chab]

J'aurais bien aimé utilisé la merveilleuse formule du binôme mais malheureusement l'énoncé énonce explicitement l'interdiction d'utiliser la formule du binôme ou des quelconques coefficient binomiaux... Pareil pour tout développements limités qui auraient bien été utile mais que l'on a pas vu jusqu'à mtn... On nous demande de n'utiliser seulement l'inégalité de Bernoulli et la récurrence. Sauf qu'impossible d'utiliser une récurrence avec cette somme...

[GaBuZoMeu]

Tu aurais pu donner ces contraintes dans ton premier message.
Tu confirmes au moins pour le 1+b ?

[Chab]

Ouais désolé.... et oui je confirme pour le 1+b. La question est bien
(1+b)^n <= 1 + nb/1! + (nb)²/2! + ... + (nb)^n / n!

[Chab]

Je voulais trouver Sn en fonction de n afin d'espérer pouvoir faire ma récurence mais je suis dans l'impasse là... et je ne vois pas trop comment l'inégalité de Bernoulli va pouvoir nous aider... En fait la somme est proche du développement limité de (1 +x)^α mais elle est supérieure à ce dernier
((1 +x)^α= 1 +αx+(α(α−1)/2!)*x^2+···+(α(α−1)···(α−n+ 1))/n!)*x^n+ O(xn+1) (désolé le LaTeX beug) )
mais je n'ai pas vraiment le droit d'utiliser le développement limité comme argument...

[Kolis]

Ce serait trop long de détailler ce que tu n'as pas le droit d'utiliser !

Je pense qu'il y aurait une solution (la minoration ne serait obtenue que pour assez grand) en utilisant l'encadrement :
Cette relation est-elle autorisée ?

[Chab]

Si je la prouve oui mais j'avoue ne pas voir à quoi elle m'avance...

[Chab]

Ok d'accord il suffit de prouver nb < Sn sauf que cela n'est pas vrai pour tout n donc il faudrait effectuer une disjonction de cas... Je pense que la clé est dans l'utilisation de l'inégalité de Bernoulli vu que c'est précisé dans l'énoncé mais je ne vois pas bien où l'utiliser.

[Ben314]

Salut,
En fait, on peut aisément démontrer l'inégalité par récurrence en utilisant uniquement le fait qu'une fonction dérivable sur un intervalle et de dérivée positive est croissante (ce qui se voit au Lycée) :
Si pour tout et on pose alors et, pour , on a
Ce qui permet de montrer de proche en proche (=récurrence) que est croissante donc positive sur .

[Chab]

C'est bon j'ai réussi à faire ma récurrence ! Ce que tu dis Ben est intéressant je vais essayer de le refaire par cette voie aussi ! Par contre pour moi P(0) n est pas défini car 0^0 ne l'est pas donc il faut soit commencer la somme à k=1 ce qui va à l'encontre de ce que l'on veut prouver soit initialiser la récurrence à 1

[Ben314]

Dans ce type de contexte où on écrit un polynôme sous la forme , il n'y a aucune ambiguïté concernant ce que signifie le terme corespondant à k=0 : c'est la constante du polynôme et le polynôme est bien sûr défini pour tout réel x, y compris pour x=0.
Si tu préfère, ça veut dire que dans ce type de contexte, par convention, 0^0 c'est systématiquement égal à 1.

Et si vraiment ça te dérange, ben au lieu d'écrire , tu écrit .
Ca ne change évidement rein (à part que c'est plus long à écrire...) et ça permet de bien voir que est clairement défini pour tout réel q vu que c'est un bête polynôme.

[Chab]

Heinnn d'accord super intéressant ! Bah merci bcp ! J'aurais perdu di temps pour rien dans ma méthode à faire une disjonction de cas... Déjà que ma méthode était bcp plus longue que la tienne... Merci beaucoup !