Recherche d'un supremum

[newman]

lol sinon le complexe z que tu cherches est exp(i * Pi/4)..à toi de le constater

[Black Jack]

Autrement.

z = a + ib
z³ = a³ - ib³ + 3ia²b - 3ab²

z³ + 2iz = a³ - ib³ + 3ia²b - 3ab² + 2a.i - 2b
z² + 2iz = a³ - 3ab² - 2b - i(b³ - 3a²b - 2a)
|z² + 2iz|² = (a³ - 3ab² - 2b)² + (b³ - 3a²b - 2a)²
|z² + 2iz|² = a^6 + 9a²b^4 + 4b² - 6a^4b² - 4a³b + 12 ab³ + b^6 + 9a^4b² + 4a² - 6a2b^4 - 4ab³ + 12a³b
|z² + 2iz|² = a^6 + b^6 + 3a²b^4 + 3a^4b² + 4a² + 4b² + 8a³b + 8 ab³
|z² + 2iz|² = (a²+b²)³ + 4(a²+b²) + 8ab.(a²+b²)

avec a²+b² <= 1

Il faut chercher |a| <= 1 et |b| <= 1 tel que ab > 0 et a²+b² = 1 et (a²+b²)³ + 4(a²+b²) + 8ab.(a²+b²) soit max

f(ab) = 1 + 4 + 8ab
f(ab) = 8ab + 5
f(a) = 8a.V(1-a²) + 5

f'(a) = 8.V(1-a²) - 16a²/(2V(1-a²))
f'(a) = [8.(1-a²) - 8a²]/(V(1-a²))
f'(a) = 0 pour 1-2a²=0 --> pour |a| = 1/V2

|a| = 1/v2 et |b| = V(1 - 1/2) = 1/V2 (a et b de même signe)
et max|z³+2iz| = V(5 + 8*(1/V2)²) = V9 = 3

Pour|z| <= 1,
max|z³+2iz| = 3 et est atteint pour z = a + ib avec a = b = +/- 1/V2 et b = +/- 1/V2

:zen:

[Luc]

lol sinon le complexe z que tu cherches est exp(i * Pi/4)..à toi de le constater

Il y aussi

[newman]

Il y aussi

en effet ^^