Recherche d'un supremum

[Dinozzo13]

Bonjour, je suis à la recherche de la valeur du supremum suivant, mais j'éprouve quelque difficultés :
.

Je suis partis de l'inégalité triangulaire :
si je prends

Toutefois, je dois bien avouer que cette notion de supremum avec des nombres complexes (malgré les modules) me perturbe.

Merci d'avance pour votre aide :+++:

[newman]

Si tu veux t'en convaincre, la fonction : x -> x(x²+2) est croissante sur [0;1],majorée par 3 .
Donc à l'aide de l'inégalité triangulaire, tu as montré que 3 majore manifestement ton expression de départ lorsque |z| parcourt le segment [0;1], ou autrement dit lorsque l'on reste à l'intérieur du cercle trigonométrique.

D'où le résultat

Edit: il faut trouver un complexe z dans le cercle trigo tel que l'expression de départ donne 3

[Skullkid]

Bonjour, pour l'instant tu as montré que 3 est un majorant de ton ensemble, c'est-à-dire que le sup que tu cherches est inférieur à 3. Plusieurs cas de figure peuvent se présenter (à toi de sentir dans quel cas tu es) :

- Le sup vaut 3 et c'est un maximum, dans ce cas il te suffit de trouver un z de module 1 qui vérifie |z^3+2iz| = 3.

- Le sup vaut 3 mais ce n'est pas un maximum, dans ce cas il te faut montrer que tout réel strictement inférieur à 3 n'est pas un majorant de ton ensemble.

- Le sup est strictement inférieur à 3, ta majoration est trop brusque, il faut chercher une autre piste.

@newman : Attention, 3 est une valeur atteinte par |z|^3 + 2|z|. Mais ce qu'il faut savoir c'est si 3 est une valeur atteinte par |z^3 + 2iz|.

[newman]

oui en effet, j'aurais dû préciser qu'il fallait trouver un complexe z dans le cercle trigo telle l'expression de départ était égale à 3...ce qui en fait n'est pas simple j'ai parlé trop vite^^

Merci de le remarquer

[Judoboy]

En règle générale, le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire est atteint quand les termes de la somme sont positivement liés (fais un dessin si tu n'es pas convaincu), ça devrait faciliter tes recherches.

[newman]

et si on essayait avec z= exp(i* Pi/4) ....^^

[Judoboy]

et si on essayait avec z= [censuré] ....

Pô sympa de spoil, c'est là que j'essayais de l'amener...

[newman]

Pô sympa de spoil, c'est là que j'essayais de l'amener...

désolé,j'avais pas vu ton message, j'ai supprimé le mien normalement il n'apparaît plus

[Dinozzo13]

Je suis désolé mais, vous avez beau m'expliquer et me donner des pistes, je n'y arrive toujours pas :triste:

Est-ce que poser avec pourrait s'avérer utile ?

[Judoboy]

Je suis désolé mais, vous avez beau m'expliquer et me donner des pistes, je n'y arrive toujours pas :triste:

Est-ce que poser avec pourrait s'avérer utile ?

Ca peut.

Et tu as plutôt intérêt à chercher parmi les complexes de module 1 en fait.

[newman]

essaie de trouver un complexe de module 1 qui permet de factoriser à l'intérieur....pour cela la forme exponentielle est très pratique en effet

[Nightmare]

Hello,

on a une CNS pour avoir l'égalité dans l'inégalité triangulaire, on peut l'utiliser pour savoir où chercher les candidats.

[Dinozzo13]

essaie de trouver un complexe de module 1 qui permet de factoriser à l'intérieur....pour cela la forme exponentielle est très pratique en effet

Le problème c'est que j'arrive à .
Pas très commode comme résultats, mais je suis peut-être allé un peu trop loin ...

Hello,

on a une CNS pour avoir l'égalité dans l'inégalité triangulaire, on peut l'utiliser pour savoir où chercher les candidats.

Si je considère l'inégalité triangulaire : avec égalité si et seulement si il existe tel que .
Du coup, si et seulement si il existe tel que , mais je ne vois pas comment trouvés ces "candidats" :mur:

[Judoboy]

Du coup, si et seulement si il existe tel que , mais je ne vois pas comment trouvés ces "candidats" :mur:

Si ce k réel existe alors tu peux trouver des relations sympas sur les arguments de tes termes.

Repasse par les exponentielles complexes.

[newman]

Peut-être faut-il rappeler i= exp(i*Pi/2) ...pratique pour faire le produit avec z sous forme exponentielle..

[Dinozzo13]

Peut-être faut-il rappeler i= exp(i*Pi/2) ...pratique pour faire le produit avec z sous forme exponentielle..

Salut !

Ok, mais comment poursuivre : je trouve

[Judoboy]

Salut !

Ok, mais comment poursuivre : je trouve

Comment faire pour que et soient positivement liés ?

[Dinozzo13]

Je ne comprends pas ce que tu veux dire par positivement liés :triste:

[newman]

Je ne comprends pas ce que tu veux dire par positivement liés :triste:

As-tu des connaissances à propos de la norme vectorielle et du produit scalaire ?

Si oui tu remarqueras par exemple que pour le produit scalaire usuel de deux vecteurs dans un plan, celui-ci est maximal lorsque l'angle entre les deux est nul(ils sont colinéaires dans le "bon sens"^^), et il vaut le produit des normes des deux vecteurs...ils sont positivement liés

ensuite il faudrait que tu connaisses la formule donnant la norme de la somme de deux vecteurs(éventuellement au carré) en fonction du produit scalaire et des normes(éventuellement au carré) de chacun pour comprendre le post de nightmare et judoboy(enfin je crois..il y'a des chances que je sois à l'ouest vu l'heure^^...)

[Luc]

Bonjour,

Si je considère l'inégalité triangulaire : avec égalité si et seulement si il existe tel que .
Du coup, si et seulement si il existe tel que , mais je ne vois pas comment trouvés ces "candidats" :mur:

Tu y es presque : le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire implique que z est solution de l'équation avec , que tu sais résoudre. Réciproquement, calcule ensuite pour un z bien choisi (en particulier, qui vérifie le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire) et tu pourras conclure.