Recherche équation d'une courbe

[secutor]

Bonjour à tous,
j'ai un petit défis qui vient se poser à moi. N'ayant jamais été un grand mathématicien j'ai du mal à en trouver une solution mais je pense que cela ne devrait pas trop vous poser de problème.

Je dois, dans le cadre de mon activité, trouver un moyen de prévoir quelle valeur de y j'aurai pour un x donné, autrement dit trouver une équation avec pour seules infos :
- que ma courbe passe par y=x=0
- que l'on peut considérer que la courbe devient quasiment linéaire entre deux points qui me sont donné (par exemple pourx1=10, y1=2.5 et pour x2=20, y2=4.2), je peux donc déduire la pente entre ces deux points.

J'ai d'abord pensé que je pouvais imaginer deux droites (l'une y=0 et l'autre y=ax+b (oùb est toujours négatif et a toujours positif), puis qu'il ne me restait plus à trouver une équation de la courbe qui relie mon zéro à mon point de coordonnées [x1;y1] vu plus haut mais c'est trop compliqué pour moi.

Je vais essayer d'insérer un exemple de cette courbe pour être plus explicite si je ne suis pas clair.

D'avance merci à celui ou celle qui pourra m'aider.

[L.A.]

Bonjour,

il y a beaucoup de possibilités... à commencer par une droite qui relierait les points (0,0) et (x1,y1) par exemple. On obtiendrait ainsi une courbe continue et affine par morceaux, mais qui présenterait l'inconvénient d'avoir sans doute un angle brutal en (x1,y1). C'est pour dire que le problème tel que tu le formules est "trop libre" pour le moment pour que l'on puisse y répondre, il n'y a pas assez de contraintes.

Ta courbe doit elle être continue ? croissante ? "lisse" au niveau du raccordement ? concave ? convexe ?

Pour avoir une courbe "lisse" ou plus précisément C1, on peut penser à une parabole : il s'agit de trouver la fonction ou les coefficients a,b et c vérifient le système suivant





où p est la pente de la partie droite de la courbe.

[secutor]

Oui pardon voici la forme de la courbe

[L.A.]

Effectivement, cela ressemble plutôt à une parabole convexe.

Du coup, en reprenant le découpage et les valeurs que tu proposes, la pente vaut



quant aux coefficients a et b (et c=0) ils vérifient




soit donc et

bref entre 0 et 10 nous avons une parabole (concave) d'équation
et entre 10 et 20 une droite d'équation

[secutor]

Super, merci pour votre réponse, j'ai toujours une erreur par rapport aux points mesurés mais je crois que je vais devoir faire avec, voici ci-dessous la courbe tracée à partir de points mesurés (bleue) VS courbe calculée avec deux point donnés (rouge) :

[Ben314]

Salut,
Le problème, a mon sens, c'est que tu as toujours pas répondu à la question de L.A. concernant le "comment veut tu utiliser ta formule ?"

...trouver un moyen de prévoir quelle valeur de y j'aurai pour un x donné, autrement dit trouver une équation...

- Est ce que c'est pour faire les calculs à la main (donc une formule super simple et évidement pas trop précise) ?
- Faire les calculs avec un ordi. ? (là que la formule soit super longue, tu en as rien à f... : c'est pas toi qui fait les calculs et avec la vitesse de l'ordi. ça pose pas soucis)
- Pour tracer la courbe y compris entre les points donnés et qu'elle soit le plus "lisse" possible ? (i.e. sans qu'on voit apparaitre des angle comme le suggère L.A. çi dessus)
- Autre utilisation ?

Parce que, perso., j'avais l'impression que le but était une application calculatoire (avec ordinateur) où tu avait rien à f.. des éventuels "angles" que présentait la courbe obtenue.
Et dans ce cas, effectivement, la solution de loin la plus simple, c'est celle que tu proposait, c'est à dire considérer que la courbe est formé de segments de droites mis bout à bout.
Par contre (et évidement), les segments de droites en question, c'est pas ceux qui relient le point aux différents points , mais les segments qui relient les différents points au point suivant, c'est à dire à .

[zygomatique]

salut

et pour compléter la réponse de Ben314 et vu le graphique sur tableur tu peux directement essayer des interpolations de l'ensemble de tes points par différents types de courbes et qui te donne des formules toutes faites ...

et de plus éventuellement coupé ton nuage de points en deux groupes :

l'un où c'est quasiment linéaire et où il est aisé de calculer l'équation de la droite (droite de régression par exemple)

l'autre partie "courbe" où tu fait une interpolation que tu choisis

...

[mathelot]

et avec arctan https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+arctan(x)

[secutor]

Bonjour,
et merci pour vos aides.
Ben, voici ce que je veux faire :
nous avons un fournisseur de composants qui ne nous donne que deux points de fonctionnements pour ses composant (une valeur de tension pour 10 dB d'atténuation et une valeur pour 20dB) en précisant que sur cette plage de fonctionnement la conversion est linéaire.
Or, nous avons impérativement besoin de connaitre aussi les valeurs correspondants à la partie "hyperbolique" dans la courbe de conversion c.a.d. en dessous des 10 dB.

Nous gérons ensuite le fonctionnement de ce composant par soft en fonction d'une équation que nous programmons.

Mon désir était d'entrer en commande soft les valeurs données par le fournisseur (ex (ATT1=10dB, V1=2.15V et ATT2=20dB, V2=3.9V) et que par le jeu de deux équations, le fonctionnement de ce composant puisse se faire.

L'idée que nous avons retenu, grâce à vous, c'est que nous générons deux équations (voir courbe du post précédent).

J'ai même pu obtenir une information de plus de la part de notre fournisseur pour une troisième valeur à 5dB d'atténuation.

Nous aurons ainsi trois équations :
- L'une hyperbolique pour les valeurs de tensions correspondant aux ATT de 0 à 5dB
- La deuxième linéaire droite de la forme y=ax+b pour les ATT de 5 à 10dB
- La troisième linéaire droite également y=cx+d pour les ATT de 10 à 20 dB


Merci en tout cas à tout ceux qui me sont venu en aide, les mathématiques sont loin derrière moi , j'ai même eu du mal à me rappeler comment résoudre 2 équations à 2 inconnues

[secutor]

Je viens de m'apercevoir d'une petite difficulté que je n'avais pas prévue mais la courbe doit être strictement positive.

Dans mon exemple si j'utilise une équation de la forme y=ax²+bx+c, j'obtiens des valeurs de x négatives pour les y proches de 0.

Si j'ai bien compris, (mais ce n'est pas sûr), le seul moyen d'y arriver est de rajouter une inconnue (qui serait l'exposant) et de vérifier :

f(x)=a.x^t+b.x+c>=0
f(0)=c=0
f(x1)=y1=a.x1^t+b.x1+c
f'(x1)=p=a.t.x1+b

avec dans mon cas :
c=0
x1=1.77 (V)
y1=5.74 (dB)
p=(10.13-5.74)/(2.16-1.77)=11.31 (dB/V)

Ca fait 3 inconnues mais est-ce qu'on ne peut pas se servir du fait que le f(x)>=0 ?

[L.A.]

Ce genre de chose peut marcher, tout comme ça peut ne pas marcher... mais rien n'empêche d'envisager autre chose que des polynômes si ça ne marche pas.

Attention, la dérivée de x^t n'est pas tx mais tx^(t-1).

Sinon il suffit peut-être d'ajouter une condition du genre f'(0)=0 en prenant pour f un polynôme de degré 3

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.

La philosophie étant bien sûr d'avoir toujours autant d'inconnues que de conditions/équations, de façon à pouvoir résoudre le système...

EDIT :
ce qui nous fait alors c = d = 0 ainsi que

1,77 a + b = 5,74/1,77^2 = 1,83
5,31 a + 2 b = 11,31/1,77 = 6,39

soit 1,77 a = 2,73 et a = 1,54 puis b = -0,89.

et zut, c'est raté

voir peut-être avec une fonction f(x) = x^n (ax + b), qui est de plus en plus aplatie en 0 quand n grandit, ce qui rejoint un peu ta suggestion.

[secutor]

merci, je vais essayer de continuer la dessus

[L.A.]

Pour f(x) = x^n (ax+b) les coefficients solutions sont (sous forme générale)




et pour nous avons b positif et tout roule.

Il suffit donc de prendre n=3 (seul cas ou a>0 et b>0, puisque a<0 dès que n>3... curieux, mais c'est encore mieux)

bref f(x) = x^3 (0,28 x + 0,53) devrait convenir, sauf erreur de calcul et aux arrondis près.

[Ben314]

Perso, face à tout ces problèmes d'approximation, c'est un peu toujours la même chose que je raconte :
C'est pas aux matheux de dire par quelle type de fonctions on est sensé approximer ta courbe (polynômes ? exponentielles ? linéaire ?) c'est aux personnes du domaine en question de le dire PUIS c'est au matheux de dire, parmi les types de fonction proposées comment trouver celle qui s'approche au mieux des valeurs numériques que l'on a.

Bref, je vais aller regarder sur Wiki (ou autre chose) si j'arrive à comprendre un tout petit peu quelque chose à la notion de "ATT(db) = f(tension (V))" dont tu parle pour savoir s'il y a un début de modèle théorique permettant de dire que la fonction f cherchée est plutôt sensée "être de tel type".

[L.A.]

Je dois, dans le cadre de mon activité, trouver un moyen de prévoir quelle valeur de y j'aurai pour un x donné, autrement dit trouver une équation avec pour seules infos :
- que ma courbe passe par y=x=0
- que l'on peut considérer que la courbe devient quasiment linéaire entre deux points qui me sont donné (par exemple pourx1=10, y1=2.5 et pour x2=20, y2=4.2), je peux donc déduire la pente entre ces deux points.

Ben 314 a raison, et je l'avais dit aussi au début : il est mathématiquement impossible de retrouver la "totalité" d'une fonction (a fortiori de donner une équation) lorsqu'on ne connait qu'une "partie" de sa courbe (ici le point de départ et le point d'arrivée) puisque cela laisse une infinité de possibilités. Cela peut-être possible en revanche si l'on sait de quel "type" de fonction il s'agit : polynomiale de tel degré, exponentielle, etc...

Je ne t'ai donné qu'une possibilité pas trop sale en raisonnant à partir des quelques informations dont tu disposes, mais je ne peux pas te dire si cela correspond à quelque "composant" que ce soit, ne sachant même pas de quoi il est question. Maintenant tout dépend :si tu ne veux qu'une approximation et que ma fonction te convient, c'est tant mieux, mais si tu veux l'équation exacte de la fonction que tu as sous les yeux, c'est un problème beaucoup plus compliqué voire impossible si tu n'as que quatre points de sûrs et aucune info entre les deux premiers...

Rmq : en reprenant mon calcul et en augmentant n, la courbe s'aplatira davantage à l'origine, ce qui correspondra peut-être mieux avec la courbe rouge de ton graphique.

[secutor]

Bonjour tout le monde,

Evidemment je cherche une forme approximative, je ne m'attendais pas à une fonction mathématique "clé en main" qui collerait en tout point à la courbe. Le fournisseur lui même m'a dit qu'ils n'avaient pas réussis à établir de modèle mathématique car tout dépend de la fabrication.

Ben314, les renseignements que j'avais et que je vous ai donné sont les suivants :

- la courbe passe par x=y=0

- la fonction peut être assimilée à une droite entre deux points de coordonnées (x1;y1) et (x2;y2)

- y est toujours positif (info venue un peu tardivement en effet) mais je trouve qu'il est intéressant et instructif de travailler par itérations, n'est-ce pas la vocation du forum ?

Pour le type fonction mathématique associée à ces renseignements, il me semble que c'est justement vers des matheux qu'il vaut mieux se tourner.

Pour info c'est la fonction de transfert d'un atténuateur optique variable (Atténuation en dB= f(tension en Volt)), d'où le fait que y est toujours >0

L.A., effectivement ton calcul colle parfaitement, je vais essayer de l'appliquer avec d'autres composants, merci.

Merci à vous deux en tout cas, ça fait plaisir de se replonger dans ces choses là même si je me rends compte à quel point j'ai tout oublié avec le temps.

[Ben314]

Si ça te va, je pense effectivement que c'est pas la peine d'aller plus loin.

Perso, j'ai pas compris grand chose au truc que j'ai lu à droite à gauche concernant les "atténuateur optique variable" et si tu dit que le fabricant lui même ne sait lui même pas trop quelle type de formule on doit obtenir lorsqu'on est en dehors des min/max qu'il donne, là, effectivement, il reste plus qu'à faire.. ce qu'a fait L.A., c'est à dire y aller "un peu au pif" jusqu'à ce que ça te convienne.

[secutor]

Super, merci beaucoup !
Nous allons pouvoir définir un algorithme qui se sert de 4 paramètres : x1, y1, x2 et y2 pour extraire (p, a et b), et je pense qu'avec n=3 on pourra être assez proche de la réalité quelque soit le cas de figure.

Merci encore

[L.A.]

Euh, attention tout de même à une chose :
n = 3 convient pour l'exemple numérique que tu as donné, mais ne conviendra peut être pas pour d'autres valeurs des x_i et y_i, puisqu'il faut toujours que n + 1 > p x_1 / y_1 pour que f soit positive sur [0 ; x_1]

[secutor]

Oui j'ai essayé sur sept autre composants (VOA). En fait les points sont assez proches d'un composant à l'autre, ce qui fait qu'avec n=3 on est toujours correct.


On voit qu'il y en a un qui sort un peu du lot, le VOA 6 (sa pente p=20 au lieu des 12/13 habituels)

Je pense que je vais prendre celui-ci et le caractériser pour voir si les points collent à la courbe calculée.

Merci L.A.