Recherche d`application

[tigre]

salut merci de me donner un indication qui me permettre de trouver tout les application qui vérifient a+b=1 et pour tout x,y dans R

on a
f(y)-f(x)=(y-x)f`(ax+by)merci

[Ben314]

Bonsoir,
Je ne suis pas sûr de comprendre l'énoncé : on FIXE deux réels (positifs ?) a et b tels que a+b=1 PUIS on cherche les fonctions telle que, pour tout x,y réels,
f(y)-f(x)=(y-x)f'(ax+by) (où f' est la dérivée de f ?) ?

Si c'est le cas, en prenant y=0, on obtient une équation différentielle pas trop complexe....

Si a et b ont le droit de dépendre de x et y, il me semble que cela ressemble beaucoup ay théorème des accroissements finis...

[tigre]

on fixe rien.......
soit a,b reel tel que a+b=1
autrement dit ne sont pas fixe ......oui c`est sure le TAF mais comment stp c`est quoi l`idée`

[Ben314]

Si a et b ont le droit d'être quelconque, alors l'ensemble des ax+by est... R tout entier (dés que x est différent de y) !!!

[tigre]

a et b ont le droit d'être quelconque pas quelconque a+b=1 je vois pas se que tu veux dire

[Ben314]

On peut le voir soit à l'aide des barycentres : si X et Y sont dans R^n (distincts) alors l'ensemble des aX+bY avec a+b=1 est la droite (XY) (c'est quasiment la définition d'une droite)
Ou bien le voir bêtement à l'aides de systèmes : pour x,y,z fixés (x,y distincts) le système
ax+by=z
a +b =1
admet une (unique) solution.

[tigre]

M=(ax+by,f(ax+by)) tel que les pentes de la tangente au point m est égale a f(x)-f(y)/x-y


je comprends pas votre destination merci

[Ben314]

Le T.A.F. dit que, si x est différent de y, il existe un z dans R (et même plus précisément entre x et y) tel que f(y)-f(x)=(y-x)f'(z) puis, il existe deux réels a et b tels que a+b=1 et ax+by=z.

[alavacommejetepousse]

bonsoir

je n'ai toujours pas compris l'énoncé

d'où l'intérét d'écrire les choses de façon claire...

qui vient avant? qui dépend de quoi?

en maths il y a
1 un ordre pour les objets considérés

2 des quantificateurs

[Ben314]

Salut, alavacommejetepousse
Je n'ai pas compris non plus sa question, mais (comme ma signature le laissait présager) cela ne m'empèche nullement d'y répondre :zen:

[tigre]

soit a,b reel
telle que
a+b=1
trouver tout les application de R dans R qui vérifie
pour tout x,y dans R f(y)-f(x)=(y-x)f`(ax+by)


l`énonce crypter

[tigre]

bon le truc est claire mais comment faire

[Ben314]

Il me semble qu'en posant t=x-y et z=ax+by puis en dérivant deux fois en t on obtient le résultat...

(En précisant dans l'énoncé "on cherche toutes les fonctions dérivables sur R telles que...")

[tigre]

si on dérivé deux fois par rapport t elle b f``(x)=f``(y)
f est alors un polynôme de second degré

[Ben314]

Perssonellement, aprés (changement de variable) + (dérivée seconde en t) + (re-changement de variables) j'obtient b^2f"(x)=a^2f"(y) pour tout x,y dans R et deux cas se dégagent selon que a et b sont égaux ou différents...

[tigre]

j`ai pas bien compris

[Ben314]

Bon, je détaille :
Le système (en x,y)
-x+y=t
ax+by=z
admet une unique solution (c'est un "changement de variables"), à savoir
y=z+at
x=z-bt
donc
équivaut à
Cette formule, pour t=1, montre que f' s'exprime en fonction de f et donc que f est indéfiniement dérivable. De plus, on sait que deux fonctions dérivables sur un intervalle sont égales ssi leur dérivées sont égales ET qu'elles sont égales en un point (il suffit d'intégrer pour le voir). Ici les deux fonctions sont trivialement égales en t=0 donc, en dérivant en t, le problème est équivalent à :

De nouveau, pour t=0, la condition est trivialement vérifié donc le p.b. est équivalent à

ce qui, en reprenant les variables de départ équivaut à :

Deux cas se présentent :
1) Si on trouve (en prenant x=y) : f est un poly. de degrés<=1.
2) Si on trouve : f est un poly. de degrés<=2.

Remarque : en fait on peut enlever la condition a+b=1 qui ne fait que simplifier les calculs mais n'est pas indispensable.