Rayons de convergence

[mehdi-128]

comment déterminer le rayon de convergence de la série des sin(n*teta)?

[BQss]

comment déterminer le rayon de convergence de la série des sin(n*teta)?

Tu veux dire sin(n*teta)x^n je suppose si non il n'y a pas lieu de parler de rayon de convergence.

[fahr451]

rayon de cv de la série ENTIERE sigma des sin (nthéta) x^n je présume
pour théta = kpi le terme général est nul donc R = infini.
sinon
puisque sin est bornée pour lxl <1 la série converge absolument donc R >= 1

et pour x = 1 la suite sin (n théta) est
soit périodique non constante ( si théta/pi rationnel)
soit dense dans [-1,1] (si théta /pi irrationnel)
donc le terme général ne tend pas vers 0 la série diverge donc R=<1
et R = 1

[mehdi-128]

Pourquoi si lxl <1 la série converge absolument donc R >= 1 ?
J'ai pas compris....

[fahr451]

es tu d 'accord que la série converge absolument pour lxl<1 ?

[mehdi-128]

euh à vrai dire je sais pas pourquoi

il y a une propriété du cours qui dis ca quand on connait le rayon de convergence or la on le cherche .....

[fahr451]

lsin()x^nl =
oui?

[mehdi-128]

j'ai jamais entendu parler de série géométrique....
ah je vois c'est bon d'apres la regle d'Alembert

[BQss]

[quote="fahr451"]lsin()x^nl ==1 la suite an*z^n ne converge pas donc sa serie ne peut pas converger, conclusion:

R=1

[mehdi-128]

ah ok merci

[fahr451]

pardon??

comment parler de série et de série entière sans la série géométrique ?

quelque chose m échappe là...

alors

la série de terme général x^n (série géométrique ) converge ssi lxl<1
en effet

calculons les sommes partielles Sn(x)
pour x= 1 ; Sn(1) = n+1 diverge vers + inf

pour x différent de 1

Sn(x) = (1-x^(n+1))/(1-x) cv ssi x^(n+1) cv donc ssi lxl<1 (le cas x= 1 ayant été traité avant)

oui ou non ?

[BQss]

j'ai jamais entendu parler de série géométrique....
ah je vois c'est bon d'apres la regle d'Alembert

C'est la serie de refence celle pour an=1 quand on traite les series entieres.

sigma z^n c'est la somme des termes d'ue suite geometrique de raison z.
Ca vaut u0(1-z^n)/(1-z)

Si |z|0 et donc ces series la converge vers u0/(1-z)

[fahr451]

Medhi il y a là un problème de cohérence car le critère de d 'Alembert utilise justement (relis la preuve) la série géométrique


la série géométrique c'est la première des premières à connaitre

le lemme d'abel (que tu dois avoir vu) utilise aussi la série géométrique

[mehdi-128]

lemme d'abel: Si r>0 est tel que la suite (anrn) est bornée, alors la série converge absolument pour |z|je vois pas de série géométrique

par contre j'ai bien compris pour la série géométrique c'est d'ailleurs évident qu'elle convergence por /x/<1

[fahr451]

tu as relu la preuve ?

[mehdi-128]

oui c'est bon

[Gary O]

j'ai jamais entendu parler de série géométrique....
ah je vois c'est bon d'apres la regle d'Alembert

Il ne faut pas avoir des réflexes du type "règle de d'Alembert" dans ce genre de cas, je trouve que ça bloque la compréhension plutôt qu'autre chose. Une suite géométrique j'ai du mal à croire que tu n'aies jamais vu ça. C'est une suite du type q^n où q est un réel (ou complexe, ce que tu veux) fixé, appelé raison. Il est facile de voir que la série de terme général q^n converge ssi /q/<1. Et c'est de là que vient la règle de d'Alembert qu'aulieu d'apprendre par coeur il faut comprendre car ce n'est vraiment pas dur: si tu as une série de terme général u_n et que u_(n+1)/u_n a une limite l, on voit qu'on va pouvoir, grosso modo, assimiler u_n a une suite géométrique de raison l, et donc que ta série converge ssi /l/<1. Et si tu regardes la preuve du lemme d'Abel, c'est le même genre d'arguments.

[mehdi-128]

oui je suis d'accord mais disais pas n'avoir jamais entendu suite géométrique mais série géométrique c'est juste un vocabulaire que je n'entends pas trop c'est tout.....