Rayon de convergence

[jankyjack]

Bonsoir j'aimerai savoir comment calculer le rayon de convergence de la serie suivante



et je voudrais en deduire l'égalité


Merci

[Kolis]

Bonjour !
Tu as bêtement une série géométrique dont la condition de convergence est connue ainsi que la somme.

[jankyjack]

s'il te plait tu peux etre plus précis. Merci

[zygomatique]

salut

un peu de sérieux dans le supérieur ...

[jankyjack]

Bon oui à ça j'etais déjà arrivé tout seul en utilisant le critère du quotient. c'est à dire en calculant

[jankyjack]

ce qui m'a donné +infini. donc c'est pourquoi je ne savais plus comment procéder

[jankyjack]

[jankyjack]

ce qui fait exactement lim (1/2 x) et en plus l'infini. c'est +infini

[jankyjack]

je n'arrivais pas à trouver mon érreur c'est pour ça que je suis ici. Merci de m'aider

[Lostounet]

Bon oui à ça j'etais déjà arrivé tout seul en utilisant le critère du quotient. c'est à dire en calculant

Tu n'as même pas besoin du critère du quotient...

Tu as exactement une série géométrique! De raison q=(x/2). Tu as la somme des q^k pour k=0 à k=infini. Et on sait quand est-ce qu'une série géométrique de raison q converge: lorsque |q|<1

donc lorsque |x/2|<1

D'ailleurs le critère du quotient est aussi appelé "comparaison à une série géométrique". Mais on ne va pas comparer une série géométrique à une série géométrique...

[jankyjack]

okay merci. ça devient lentement plus clair. je croyais que pour définir le rayon de convergence d'une suite il fallait que la raison ait une valeur fixe. dont ne dépendent pas d'une quelconque valeur.

Si je suis la logique que vous m'avez donné alors le rayon de convergence sera r = 2/x. avec x< 2.

puisque r = 1/q.

est ce que c'est ça?

[zygomatique]

si une série (géométrique) converge alors son terme général tend vers 0 donc converge

si une suite géométrique converge alors sa raison est inférieure strictement à 1 (cours de première)

donc il faut |x/2| < 1

et on remarquera que x/2 = x^(k + 1)/2^(k + 2) * 2^(k + 1)/x^k

[jankyjack]

Désolé mais je ne vois pas où tu veux en venir. tu veux juste d'enoncer le critère de convergence que j'avais fait plus haut.

[Lostounet]

okay merci. ça devient lentement plus clair. je croyais que pour définir le rayon de convergence d'une suite il fallait que la raison ait une valeur fixe. dont ne dépendent pas d'une quelconque valeur.

On parle de rayon de convergence d'une série entière ! Ici tu as une série de la forme .
Ensuite, pourquoi dis-tu que la raison doit être fixe? (personne n'a dit le contraire... pour un x donné, tu as une raison donnée..)
Bon... reprenons dès le départ.

Rappel ancien: Si tu as une suite géométrique , de premier terme 1 et de raison q (différente de 1), alors tu sais (rappel de 1ere S) que la somme des N+1 premiers termes vaut:


Maintenant tu vois que lorsque q est compris entre -1 et 1, on a que , ce qui signifie que si j'ai une série numérique pour q compris entre -1 et 1
:

Comprends-tu?

Maintenant ici, tu as une série entière.


Celle-ci dépend de x: pour chaque x que tu choisis, tu as une somme différente (qui peut être infinie). On souhaite trouver pour quels x cette somme sera un nombre fini ! Cela revient à trouver le rayon de convergence ! Et on constate que cette série entière, à un x donné fixé, est une série géométrique !

De raison et on sait d'après ce qui précède qu'on a besoin d'avoir q compris entre -1 et 1 pour que la série géométrique converge ! Si je te choisis un x tel que, c'est à dire un la condition -1<q<1 est respectée et la série numérique va converger. Et donc le rayon de convergence R est...

Tu n'as pas besoin de la règle de d'Alembert et elle parait même nocive pour toi car elle t'empêche de voir ce qui se passe vraiment..

Désolé mais je ne vois pas où tu veux en venir. tu veux juste d'enoncer le critère de convergence que j'avais fait plus haut.

[jankyjack]

le rayon de convergence est x -2 resp. x+2. donc pour tout point pris dans le cercle de centre x et de rayon x-2. f(x) converge.

[Lostounet]

Un cercle ne peut pas être centré en x... Il doit avoir un centre et un rayon fixes (qui dépendent pas de x).
D'ailleurs ici on est dans R donc on parle de convergence sur des intervalles de la forme ]-R;R[.
(On n'est donc pas dans le cadre des fonctions analytiques dans le plan complexe pour avoir vraiment des disques avec rayon)

[jankyjack]

le rayon convergence est 4 et appartient à l'intervalle ]-2; 2[

[Lostounet]

Peux-tu essayer d'être un peu plus précis?

J'ai fait de mon mieux pour t'expliquer le détail donc il faudrait que tu t'appliques un peu quand même.
Quel est le plus grand intervalle dans lequel doit être x pour que la série converge ? (la réponse est plus haut).

Celui-ci est de la forme ]-R; R[ avec R le rayon de convergence. Je ne sais pas d'ou tu sors ton 4 (c'est pas le diamètre de convergence qu'on te demande ... )

Si tu as un bon cours sur les séries entières, tu devrais revenir dessus... Tu as trop de flous, fais des petits exercices de compréhension.

[jankyjack]

ah oui le rayon est 2 et x doit etre dans l'intervalle ]-2; 2[ .
Merci beucoup

[Lostounet]

ah oui le rayon est 2 et x doit etre dans l'intervalle ]-2; 2[ .
Merci beucoup

Tu vois, ce n'est pas si difficile. C'est normal car c'est une série facile à étudier: elle est géométrique !
Maintenant si tu as une autre série, tu as d'autres règles comme celle que tu utilises (règle de d'Alembert: (an+1/an)), tu as aussi la règle dite "de Cauchy" ().


D'autres règles (plus compliqué) existent comme celle de Raabe-Duhamel (avec éventuellement des généralisations ...): http://www.klubprepa.fr/Site/Document/C ... ument=7642


Mais tout cela est futile si on ne maîtrise pas les séries géométriques, les séries de Riemann et ensuite les séries alternées de base.