Rayon de convergence / série entière

[mploki]

Bonjour !

Comment calculer le rayon de convergence de la série entière de terme général ;)an z^n
avec an=tan(n*Pi/7)

Merci

[mathelot]

bonjour,

sauf erreur, le critère de Cauchy est

= limsup

la suite des tangentes ne prend qu'au plus 7 valeurs, ça devrait donner R=1 et la possibilité de calculer explicitement la somme (modulo 7)

[mploki]

bonjour,

sauf erreur, le critère de Cauchy est

= limsup

la suite des tangentes ne prend qu'au plus 7 valeurs, ça devrait donner R=1 et la possibilité de calculer explicitement la somme (modulo 7)

Pouvez vous détaillez plus, s'il vous plait ? On vient de commencer le chapitre, je ne comprends pas trop la réponse :mur:

Mercii

[mathelot]

Bonjour,

pour une suite réelle bornée

on remarque que est
- décroissante, minorée, convergente
on note


pour tout , à partir d'un certain rang

car les "sup" passant sous , les termes de la suite aussi


Quand on applique la notion de "limsup" aux séries entières

à partir d'un certain rang si

on voit alors que pour les z vérifiant

donc

de même, l'inégalité


maintenant la suite est 7-périodique, la limsup de est donc 1.
(toutes proportions gardées, c'est comme si tu considérais

[alm]

Salut,

Les programmes actuels de prépa ne prévoient pas la formule de Hadamard.

Il est simple de démontrer que si est une suite non nulle à ensemble de valeurs fini alors le rayon de convergence de la série entière est égal à .

En effet : comme la suite est bornée on a déjà

Soit alors si ( existe et car les hypothéses disent que la suite est finie et non nulle ) on a bien : lorsque , par suite


Remarque1 : une conséquence de cela est : si la suite est périodique non nulle alors le rayon de convergence de la série entièer est égal à

Remarque 2 : Si est une suite convergnete de limite non nulle alors là aussi : le rayon de convergence de la série entièer est égal à

.