Rayon du cercle inscrit

[mathelot]

Bonjour,

suite à un exo très sympa de Seconde, j'ai démontré, un peu par hasard,
, et sans nécessité, la formule



où r est le rayon du cercle inscrit d'un triangle
et



la moyenne des longueurs des trois hauteurs.

pouvez-vous confirmer ?

[skilveg]

J'ai l'impression que c'est faux: pour un triangle rectangle isocèle de côtés et , le rayon du cercle circonscrit vaut tandis que la moyenne des hauteurs vaut .

En revanche, si les côtés sont , et , on a
[CENTER]

[/CENTER]

[mathelot]

[CENTER]

[/CENTER]

oui. merçi.

[mathelot]

Salut,

en ce moment , je me pose une question ludique:

si le triangle était un cercle, que serait-il ?

principe: conserver le maximum de propriété et donner des
valeurs moyennes

pour le rayon, c'est fait, je considère
la moyenne quadratique entre rayon inscrit et circonscrit

Pour le centre, je cherche.. y a plein de points remarquables
I et O,H,G
O est équidistant des sommets
I est équidistant des côtés
H est le point de rencontre de géodésiques
G est un point d'équilibre des masses

mais aussi le point de Lemoine L, les deux points de Broca,
et une foultitude de cercles : cercles d'Euler,de Tucker,de Broca
avec chacun leur centre

d'où: où est LE centre du triangle ? Justifier

[Ericovitchi]

Il paraitrait assez "naturel" d'élire le centre de gravité comme meilleur candidat pour être le centre d'un triangle.

[mathelot]

Il paraitrait assez "naturel" d'élire le centre de gravité comme meilleur candidat pour être le centre d'un triangle.

oui,mais pas complètement car
et le milieu E de [OH] (centre du cercle d'Euler) semble "encore plus"
au milieu.

question: qui est le plus "au milieu" , E ou G ?

Le second souçi, c'est que G fait la "part belle" aux sommets
peut être au détriment d'une moyenne des mesures d'angles.
En tous cas, sur une ile triangulaire , Robinson C. élit sa demeure en I, centre du cercle inscrit , qui est le point le plus éloigné du rivage.

Autre question : le point U, barycentre des disques inscrit et circonscrit
avec pour coeff les carrés des rayons ? et le milieu du segment reliant
les deux points de Brocard ? il y a beaucoup de candidats et un seul poste...
et le milieu, est-ce qu'il doit se situer à l'intérieur du triangle OGHI ?

[Ericovitchi]

Mouais.
Quelle idée aussi de vouloir transformer un cercle en triangle :wrong:

Une autre piste peut-être ? Si tu trouvait une transformation qui transformait le cercle en triangle, il n'y aurait plus qu'à trouver le transformé du centre. Peut-être un composé d'inversions (pour transformer les droites en cercle ou portions de cercle) puis d'homothéties (pour bouger les droites et qu'elles ne se retransforment pas). Il faudrait chercher une fonction f(z).