Rationalité cosinus
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Viko
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par Viko » 23 Juil 2017, 19:25
Bonjour,
Je suis entrain de traiter un exercice ayant pour objectif de déterminer pour quel valeur de r on a
pour cela on considère la suite
défini par :
j'ai montré que
ainsi que
On pose
et on demande maintenant ne remarquant que
est une racine 2q-ième de l'unité de montrer que l'ensemble
est fini (pas de problème de ce côté là)
ma question est pourquoi montrer que
est une racine 2q-ième de l'unité plutôt qu'une racine q-ième de l'unité ? je sais que sa ne change pas grand chose à la suite de l'exercice mais cela me pertube...
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Pseuda
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par Pseuda » 23 Juil 2017, 19:43
Bonsoir,
k=0 : racine de l'unité ?
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Viko
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par Viko » 23 Juil 2017, 19:51
en effet il faut donc un
au numérateur ce qui donne 2q au dénominateur merci beaucoup !
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Viko
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par Viko » 24 Juil 2017, 01:15
Tout compte fait j'aurais besoin d'un peu d'aide pour montrer que
est une racine 2q-ième de l'unité la démonstration que j'ai fait comportait une erreur....
j'essaie donc de montrer
mais je n'arrive pas à la conclusion que je veux, un peu d'aide ?
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Lostounet
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par Lostounet » 24 Juil 2017, 01:42
Viko a écrit:Tout compte fait j'aurais besoin d'un peu d'aide pour montrer que
est une racine 2q-ième de l'unité la démonstration que j'ai fait comportait une erreur....
j'essaie donc de montrer
mais je n'arrive pas à la conclusion que je veux, un peu d'aide ?
Salut,
Un complexe z est une racine j-ième de l'unité si
.
Donc
est une racine 2q-ième de l'unité si
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par Viko » 24 Juil 2017, 01:45
Et c'est dans ce genre de situation que je me sens trèès mais alors trèèèès con.....
Merci quand même^^
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Lostounet
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par Lostounet » 24 Juil 2017, 01:57
Viko a écrit:
En plus j'ai pas très bien compris comment cette congruence montre que c'est une racine 2q-ieme ?
Pourquoi tu n'as pas simplifié le 2 à droite? Et pourquoi il y a un n qui apparaît? Pourrais-tu expliquer/rectifier?
Les racines 2q-ièmes de l'unité ne sont pas congrues entre elles modulo 2pi (il suffit de se restreindre sur [0 ; pi] pour dégager les classes d'équivalences, attention c'est mal dit ici mais tu vois ce que je veux dire :p)
Ce qui est vrai est que grosso modo tous les nombres placés sur le cercle trigonométrique (ou un autre cercle) au même "angle" sont congrus modulo 2 pi.
Et puis si tu veux travailler avec des congruences et que tu n'y arrives pas, tu peux toujours essayer de relever la relation de congruence dans une égalité:
a = b [2pi] <=> il existe k dans Z tel que a - b = 2kpi
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par Viko » 24 Juil 2017, 02:09
En gros je me base sur le fait qu'on a :
de plus un complexe
est une racine 2q-ième de l'unité ssi
où n est un entier naturel strictement inférieur à 2q donc
et donc
est une racine 2q-ième de l'unité
mais sa mène à des calcul plutôt horrible et je suis même pas sûr qu'ils aboutissent ta méthode est juste mieux...
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Lostounet
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par Lostounet » 24 Juil 2017, 02:27
Je t'ai envoyé quelques calculs (moches) par MP.
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