Rationalité cosinus

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Viko
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Rationalité cosinus

par Viko » 23 Juil 2017, 19:25

Bonjour,

Je suis entrain de traiter un exercice ayant pour objectif de déterminer pour quel valeur de r on a pour cela on considère la suite défini par :

j'ai montré que ainsi que
On pose et on demande maintenant ne remarquant que est une racine 2q-ième de l'unité de montrer que l'ensemble est fini (pas de problème de ce côté là)

ma question est pourquoi montrer que est une racine 2q-ième de l'unité plutôt qu'une racine q-ième de l'unité ? je sais que sa ne change pas grand chose à la suite de l'exercice mais cela me pertube...
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Re: Rationalité cosinus

par Pseuda » 23 Juil 2017, 19:43

Bonsoir,

k=0 : racine de l'unité ?

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Re: Rationalité cosinus

par Viko » 23 Juil 2017, 19:51

en effet il faut donc un au numérateur ce qui donne 2q au dénominateur merci beaucoup !
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Re: Rationalité cosinus

par Viko » 24 Juil 2017, 01:15

Tout compte fait j'aurais besoin d'un peu d'aide pour montrer que est une racine 2q-ième de l'unité la démonstration que j'ai fait comportait une erreur....
j'essaie donc de montrer
mais je n'arrive pas à la conclusion que je veux, un peu d'aide ?
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Re: Rationalité cosinus

par Lostounet » 24 Juil 2017, 01:42

Viko a écrit:Tout compte fait j'aurais besoin d'un peu d'aide pour montrer que est une racine 2q-ième de l'unité la démonstration que j'ai fait comportait une erreur....
j'essaie donc de montrer
mais je n'arrive pas à la conclusion que je veux, un peu d'aide ?


Salut,
Un complexe z est une racine j-ième de l'unité si .

Donc est une racine 2q-ième de l'unité si
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Re: Rationalité cosinus

par Viko » 24 Juil 2017, 01:45

Et c'est dans ce genre de situation que je me sens trèès mais alors trèèèès con.....
Merci quand même^^
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Re: Rationalité cosinus

par Lostounet » 24 Juil 2017, 01:57

Viko a écrit:


En plus j'ai pas très bien compris comment cette congruence montre que c'est une racine 2q-ieme ?
Pourquoi tu n'as pas simplifié le 2 à droite? Et pourquoi il y a un n qui apparaît? Pourrais-tu expliquer/rectifier?

Les racines 2q-ièmes de l'unité ne sont pas congrues entre elles modulo 2pi (il suffit de se restreindre sur [0 ; pi] pour dégager les classes d'équivalences, attention c'est mal dit ici mais tu vois ce que je veux dire :p)

Ce qui est vrai est que grosso modo tous les nombres placés sur le cercle trigonométrique (ou un autre cercle) au même "angle" sont congrus modulo 2 pi.

Et puis si tu veux travailler avec des congruences et que tu n'y arrives pas, tu peux toujours essayer de relever la relation de congruence dans une égalité:
a = b [2pi] <=> il existe k dans Z tel que a - b = 2kpi
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Re: Rationalité cosinus

par Viko » 24 Juil 2017, 02:09

En gros je me base sur le fait qu'on a :
de plus un complexe est une racine 2q-ième de l'unité ssi où n est un entier naturel strictement inférieur à 2q donc et donc est une racine 2q-ième de l'unité
mais sa mène à des calcul plutôt horrible et je suis même pas sûr qu'ils aboutissent ta méthode est juste mieux...
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Re: Rationalité cosinus

par Lostounet » 24 Juil 2017, 02:27

Je t'ai envoyé quelques calculs (moches) par MP.
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