Raisonnement par l'absurde

[christian57]

bonjour,

en fait, j'ai compris ce qu'est le raisonnement par l'absurde. Ce que je ne comprend pas c'est que Wiki affirme que la démonstration de l’irrationalité de deux nécessite la règle de réfutation, alors que pour moi c'est par essence la démonstration par l'absurde.

il convient de bien distinguer la règle de réfutation :

p → Faux, donc non(p), qui peut être prise comme définition de la négation,

de la règle de raisonnement par l'absurde :

non(p) → Faux, donc p qui est le raisonnement par l'absurde.

EN EFFET

Si je pose la proposition P="racine de deux est irrationnel" , alors je montre que (non P) implique Faux, alors P est vrai. C'est le raisonnement par l'absurde.

Mais si je pose P = "racine de deux est rationnel" (<=> racine de deux n'est pas irrationnelle), je montre que P implique Faux, alors c'est le raisonnement par réfutation.

C'est pareil, non, selon que l'on prenne comme proposition de départ une phrase avec une négation ou non.

Je suis perdu !!!






Merci de vos réponses.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnem ... %27absurde

[mathelot]

bonjour,

on a
non(P) Faux
par contraposée
Vrai non(non(P))
par principe du tiers exclu
non(non(P))
Vrai P
donc
P est vraie

[Ben314]

Salut,

...par principe du tiers exclu...

Ben justement, dans Wiki, ils expliquent parfaitement bien que cette différence entre "absurde" et "règle de réfutation" n'a de sens qu'en logique intuitionniste ou tout autre forme de logique dans laquelle le principe du tiers exclu n'est pas considéré comme valable.
Mais bien sûr, il n'y a pas de différence à faire dans la logique usuelle des math. (par exemple dans la théorie des ensembles usuelle ZFC) vu que le principe du tiers exclu est considéré comme valide.

@christian57 : Sinon, je sais pas quel niveau tu as en math., ni ce que tu compte faire, mais a mon avis, si tu as pas au minimum un M1 ou un M2 (on va dire) et que tu ne compte pas faire de la recherche fondamentale en logique, ben tu tourne rapidement la page concernant ce type de truc. A mon avis, parmi les chercheurs en math du monde entiers, il doit y en avoir tout au plus 1 ou 2 % qui sauraient te donner la différence entre "raisonnement par l'absurde" et "règle de réfutation" et le moins qu'on puise dire, c'est que ça les empêche pas d'être brillant dans leur domaine...

[christian57]

une dernière question, l'idée c'est qu'en logique classique un nombre est rationnelle ou irrationnel, alors qu'en logique intuitionniste il est soit rationnel soit irrationnel soit "ni rationnel ni irrationnel".

pour la LOGIQUE intuitionniste :

Le raisonnement par réfutation montre que rac2 est irrationnelle.

Le raisonnement par l'absurde que rac2 n'est pas rationnelle, ce qui signifie qu'il peut être irrationnel ou ni rationnel ni irrationnel.

EN LOGIQUE classique : les deux raisonnements aboutissent à rac2 est irrationnel.

[nodgim]

Je ne connais pas la logique intuitionniste, mais comme tout réel qui n'est pas rationnel est irrationnel, je ne sais pas trop quelle place on peut laisser au caractère d'un réel qui ne serait ni rationnel, ni irrationnel.....

[Ben314]

Je ne connais pas la logique intuitionniste, mais comme tout réel qui n'est pas rationnel est irrationnel, je ne sais pas trop quelle place on peut laisser au caractère d'un réel qui ne serait ni rationnel, ni irrationnel.....

J'y connaît que dalle non plus (comme 99% des matheux) mais il me semble quand même avoir vaguement compris le chmilblick en lisant la page de wiki qui dit grosso modo qu'en logique intuitionniste, lorsque l'on écrit une proposition P, il ne faut pas le voir comme disant que "P est vraie", mais comme disant "On a une preuve constructive de P".
Ca peut expliquer que, concernant par exemple les rationnels/irrationnels, ben y'a des réels dont "on peut donner une preuve constructive qu'ils sont rationnels", d'autre dont "on peut donner une preuve constructive qu'ils ne sont pas rationnels" et enfin d'autre où on arrive rien à démontrer (de façon constructive)....

Par contre je suis pas sûr du tout d'être capable d'expliquer proprement ce qu'est "une preuve constructive" (*), mais perso, le laïus ci dessus m'éclaire vaguement concernant le bidule.

(*) Tout ce que j'ai compris, c'est que si tu as une proposition P et que tu montre (de façon "constructive"...) que non(P) conduit à une contradiction, ben c'est pas "une preuve constructive" de P.
En particulier, si tu as une "preuve constructive" de non(non(P), ça ne constitue pas une "preuve constructive" de P alors que si tu as une "preuve constructive" de P, ça constitue bien pas une "preuve constructive" de non(non(P)).
Bref, P => non(non(P)) mais c'est pas une équivalence.