Raisonnement logique

[stupicat]

Bonsoir, je prépare un concours et je galère pour cet exercice. C'est un vrai-faux donc j'ai les réponses mais j'aurais besoin de comprendre le raisonnement...
Voici l'exercice :

Un voyageur devant effectuer un voyage se renseigne sur les tarifs des trains et sur ceux d'un loueur de voitures. Le train coûte b€ par kilomètre parcouru. Pour la voiture, il faut débourser c€ plus a€ par kilomètre. b est strictement supérieur à a.
A partir de ces informations :

A. si a= 0,1 ; b=0,2 ; c=60 la voiture devient rentable dès que le trajet dépasse les 600km.
B. Les deux moyens de transport sont au même coût si le trajet est de c/(a-b) km
C. Si a, b et c augmentaient tous de 10%, le trajet à effectuer pour avoir un coût identique serait supérieur.
D. Si b seul augmentaitent de 10%, le trajet à effectuer pour avoir un coût identique deviendrait moins long de 0,1bc/a²-2,1ab+1,1b²km.

Les réponses sont : VRAI FAUX FAUX VRAI

Merci d'avance pour votre aide :lol3:

[Black Jack]

Avec P1(x) le prix du train pour x km parcourus et P2(x) le prix de le voiture pour x km parcourus :

P1(x) = b.x
P2(x) = c + a.x

Le train est avantageux si P2(x) > P1(x), donc si P2(x) - P1(x) > 0.
La voiture est avantageuse si P2(x) < P1(x), donc si P2(x) - P1(x) < 0.
La voiture est équivalente au train si P2(x) = P1(x), donc si P2(x) - P1(x) = 0.
*****
A)
P1(x) = 0,2.x
P2(x) = 60 + 0,1.x

P2(x) - P1(x) = 60 - 0,1.x
Voiture avantageuse si 60 - 0,1.x < 0 ---> si 60 < 0,1.x ---> 600 < x, soit x > 600
--> Proposition A est vraie.

***
B)
même coût si P2(x) - P1(x) = 0.
c + a.x - bx = 0
c + x(a-b) = 0
x = -c/(a-b) = c/(b-a)
---> La proposition B est fausse
***
C)
P1'(x) = 1,1.b.x = 1,1.P1(x)
P2'(x) = 1,1.c + 1,1.ax = 1,1(c+ax) = 1,1.P2(x)

Pour que P2'(x)/P'1(x) = 1,1.P2(x)/(1,1.P1(x)) = P2(x)/P1(x)

Le rapport des prix reste le même suite à cette augmentaion --->
---> La proposition C est fausse
***
D)
Par la réponse B :
Même prix si x1 = c/(b-a) (avant augmentation)

Mais si b devient 1,1.b ---> x2 = c/(1,1.b-a) (après augmentation)

x1 - x2 = c/(b-a) - c/(1,1.b-a)
x1 - x2 = c(1,1b - a - b + a)/[(b-a)(1,1b-a)]
x1 - x2 = c(0,1b)/[(b-a)(1,1b-a)]
x1 - x2 = 0,1.b.c/(1,1b² - ab - 1,1ab + a²)
x1 - x2 = 0,1.b.c/(a² - 2,1.ab + 1,1b²)

La proposition D est vraie (enfin en lui ajoutant les parenthèses adéquates)
*****

:zen:

[stupicat]

Merci beaucoup ça m'a beaucoup aidé!! :)