Raisonnement (Equivalence)

[hdci]

Comme le "si … alors…" est une équivalence, il faut lutter contre son utilisation chez les jeunes.

Non "Si... alors" c'est une implication ! L'équivalence c'est "si et seulement si"

Donc, nous sommes au collège, un carré ABCD, on va calculer la diagonale du carré.
L'élève écrit ceci:
D'après le théorème de Pythagore, si ABC est un triangle rectangle, alors le carré de l'hypoténuse AC est égale à …
Je suis le prof, sur la copie de l'élève j'entoure en rouge le "si ABC est un triangle rectangle",
et j'écrits: "et l'est-il?"

Ce qu'écrit l'élève est correct : le théorème de Pythagore dit bien "SI le triangle est rectangle ALORS le carré de etc."
Le défaut que je vois, c'est la conclusion du raisonnement : "Comme le triangle est rectangle (parce que les angles dans un carré sont droits) j'applique ce théorème et j'en déduis que" ou "puisque le triangle est rectangle (parce que le angles d'un carré sont droits) j'en déduis que"
C'est ce point de rigueur que je pense il faut exiger.

Plus généralement, une bonne façon de rédiger en appliquant un théoème "SI... ALORS" est :

Je sais que SI (A) ALORS (B) (théorème du cours)
Dans ce problème/exercice/cas, (A) est vérifié, parce que (blablabla).
Donc (B) est vérifié.

Je convoque les parents, vous savez votre fils s'il fait pas chanteur ou footballeur professionnel on risque de l'envoyer faire une prépa après le bac, je suis obligé de lui apprendre la rigueur...Je vous demandrais d'en faire autant à la maison.

Marrant, il faudra que j'essaye ça ! (surtout que dans ma classe de 1ère l'an dernier j'avais le fils d'un joueur pro qui a fait la coupe du mode 98 pour le Cameroun !)

[beagle]

le "si… alors…" est une équivalence de l'implique et doit ètre interdit aussi
enfin c'est ce qu'on m'a dit

[beagle]

"C'est ce point de rigueur que je pense il faut exiger."

j'ai bien compris, je pose la question,
à quel age on exige quoi
a quel age on permet quoi

[hdci]

Compris.
"Si (A) alors (B)", c'est équivalent à "A=>B", oui (j'avais compris autre chose dans ton avant-dernier post).

Par contre je ne comprends pas "doit être interdit aussi : vuex-tu dire par là que pour des collégiens, la différence entre "Si (A) alors (B)" et "Puisque (A) on en déduit (B)" est difficile à faire passer ?

Si l'objectif est de montrer que (B) est vraie, alors oui, l'affirmation "Si (A) alors (B)" n'est pas suffisante, il faut nécessairement compléter par "Or (A) est vrai passque..."

[hdci]

Nos messages se sont croisés !

"C'est ce point de rigueur que je pense il faut exiger."

j'ai bien compris, je pose la question,
à quel age on exige quoi
a quel age on permet quoi

J'imagine que dans un premier temps, on apprend à raisonner de façon déductive, donc c'est "puisque (A) on en déduit (B)" ou "(A) est vrai donc (B) est vrai"

Le problème va être dans l'énoncé des théorèmes tels que Pythagore : "Si le triangle est rectangle..." pourquoi le prof dit "Si" et que moi collégien je n'ai pas le droit de l'écrire".

[beagle]

Compris.
"Si (A) alors (B)", c'est équivalent à "A=>B", oui (j'avais compris autre chose dans ton avant-dernier post).

Par contre je ne comprends pas "doit être interdit aussi : vuex-tu dire par là que pour des collégiens, la différence entre "Si (A) alors (B)" et "Puisque (A) on en déduit (B)" est difficile à faire passer ?

Si l'objectif est de montrer que (B) est vraie, alors oui, l'affirmation "Si (A) alors (B)" n'est pas suffisante, il faut nécessairement compléter par "Or (A) est vrai passque..."

Moi je ne veux plus rien pour moi, c'est fini .
Mais je suis un nostalgique du c'était mieux avant comme beaucoup de gens ici à la maison de retraite.
Et de mon temps personne ne m'a repris pour m'embéter avec ce truc là.
parce que moi je dis "Si A alors B" pour dire "quand A alors B", ben quand ABC est un triangle rectangle,alors carré del'hypoténuse …

[beagle]

perso je dis
si A lors B
quand j'ai besoin de
si j'ai A alors j'ai B
si j'avais A alors j'aurais B
Quand j'ai A alors j'ai B
Quand j'aurais A alors j'aurais B
Si j'avais eu A alors j'aurais eu B

De ce fait pour la récurrence par exemple je ne suis meme pas géné par le A faux,
puisque ma récurrence est
si j'avais n j'aurais (n+1)

Et finalement c'est pas si mal puisque le si les poules avaient des dents les vaches voleraient ne me convient pas, et que historiquement il ya eu des poules avec des dents à un moment où les vaches ne volaient pas.

Alors je ne dis pas qu'en postbac faut pas passer la vitesse supérieure, et utiliser le vrai implique avec le A faux possible et que se passe-t-il alors etc...
Mais de tout le lycée que j'ai connu, c'était inutile.
Mais c'est aussi pour cela que j'avais demandé à Ben314, est-ce que cela gène pour les post-bac.

[beagle]

Nos messages se sont croisés !

"C'est ce point de rigueur que je pense il faut exiger."

j'ai bien compris, je pose la question,
à quel age on exige quoi
a quel age on permet quoi

J'imagine que dans un premier temps, on apprend à raisonner de façon déductive, donc c'est "puisque (A) on en déduit (B)" ou "(A) est vrai donc (B) est vrai"

Le problème va être dans l'énoncé des théorèmes tels que Pythagore : "Si le triangle est rectangle..." pourquoi le prof dit "Si" et que moi collégien je n'ai pas le droit de l'écrire".

Perso dans les problèmes de maths je ne me dis jamais j'ai ceci j'ai cela donc ...
Je suis toujours à regarder si ceci , si cela
et si je bouge ça ça fait quoi
et si le point a était plus haut plus bas
et si
et si
Donc les maths perso j'aime parce que c'est un exercice de recherche, d'hypothèses, si sis si
Mes maths ne sont pas des maths de trouveur, j'ai ça, j'ai ceci, j'ai cela…
C'est aussi un état d'esprit.
Et l'état d'esprit est conditionné par la manière de voir, il me semble.

[hdci]

Je finis par m'y perdre.

perso je dis
si A lors B
quand j'ai besoin de
si j'ai A alors j'ai B
si j'avais A alors j'aurais B
Quand j'ai A alors j'ai B
Quand j'aurais A alors j'aurais B
Si j'avais eu A alors j'aurais eu B

Finalement tu veux dire quoi : tu veux dire que la proposition "Si A alors B" est vraie ? Ou tu veux dire que B est vraie ?

Si l'objectif et de montrer B vrai a phrase "Si A alors B" est insuffisante, il faut dire que A est vraie.
Si l'objectif est de montrer "Si A alors B" vrai, on ne fait pas d'hypothèse sur la véracité de A.

Cf. la récurrence : cela ne te gène pas "si P(n) alors P(n+1)" et la phrase peut être vraie, mais si on ne vérifie pas l'état initial P(0) on a une phrase vraie "si P(n) alors P(n+1)" qui ne prouve pas du tout que P(n) est vraie pour tout n.

[beagle]

Je finis par m'y perdre.

perso je dis
si A lors B
quand j'ai besoin de
si j'ai A alors j'ai B
si j'avais A alors j'aurais B
Quand j'ai A alors j'ai B
Quand j'aurais A alors j'aurais B
Si j'avais eu A alors j'aurais eu B

Finalement tu veux dire quoi : tu veux dire que la proposition "Si A alors B" est vraie ? Ou tu veux dire que B est vraie ?

Si l'objectif et de montrer B vrai a phrase "Si A alors B" est insuffisante, il faut dire que A est vraie.
Si l'objectif est de montrer "Si A alors B" vrai, on ne fait pas d'hypothèse sur la véracité de A.

Cf. la récurrence : cela ne te gène pas "si P(n) alors P(n+1)" et la phrase peut être vraie, mais si on ne vérifie pas l'état initial P(0) on a une phrase vraie "si P(n) alors P(n+1)" qui ne prouve pas du tout que P(n) est vraie pour tout n.

je veux retrouver l'innocence de ma jeunesse, cette insouciance dans l'utilisation du si A alors B.
Parce que moi étudiant j'avais pas à dire A vrai,
puisque A était donné en énoncé

Pour la récurrence,
si j'avais n j'aurais n+1
si je travaille bien , à Noel j'aurais ma console
Ben si jamais ne travaille bien, je comprends que je n'aurais jamais ma console.
et même mieux quand n alors j'aurais n+1
et bien le quand n sera vrai ce sera le début de l'initialisation
peut-être que cela commence à partir de n = 7
c'est vrai à partir de 7 seulement , bon ben voila.

Un étudiant est venu dire qu'il ne comprenanait pourqoui il devait démontrer
n donc n+1
puisque n était faux
donc partir de j'ai a donc j'ai b , A donc B
c'est un frein,
alors que si j'avais n j'aurais n+1 que c'est facile.

[hdci]

je veux retrouver l'innocence de ma jeunesse, cette insouciance dans l'utilisation du si A alors B.
Parce que moi étudiant j'avais pas à dire A vrai,
puisque A était donné en énoncé

en fait ici tu énonce simplement que tu disais "si A alors B" au lieu et place de "Puisque A alors B". C'est juste un point de sémantique. On n'est pas vraiment dans des maths mais dans de l'expression.
Exemple avec Pythagore : on veut calculer la longueur de l'hypoténuse.

• "Mon triangle est rectangle. Et s'il est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est..." : pas de problme, l'élève qui a écrit cela a bien compris la relation de cause à effet et a vérifié que la cause était correcte.
  
  Mais
• "Si le triangle est rectangle, le carré de l'hypoténuse est..." : l'élève qui a écrit cela a bien recraché son cours, mais pas sûr qu'il ait compris comment on l'utilisait, donc pour reprendre un de tes posts précédent, j'entoure en rouge le Si...Alors (bon pas sûr que j'aille faire un procède des parents en place publique quand même )

alors que si j'avais n j'aurais n+1 que c'est facile.

Le truc du conditionnel, c'est que quand on dit "si j'avais A", c'est qu'on sait que justement, on ne l'a pas. "Si j'avais A, j'aurais B" sert finalement à dire "puisque je n'ai pas B, c'est que je n'ai pas A".

[beagle]

"Le truc du conditionnel, c'est que quand on dit "si j'avais A", c'est qu'on sait que justement, on ne l'a pas. "Si j'avais A, j'aurais B" sert finalement à dire "puisque je n'ai pas B, c'est que je n'ai pas A".

ah non, dans la récurrence je suis capable de chercher d'abord l'hérédité,
si j'avais n j'aurais n+1
sans avoir regardé l'initialisation que je peux faire bien après …

Par contre je ne sais absolument pas démontrer que si les poules avaient des dents, ben pourquoi les vaches voleraient,
de sorte que je n'ai même pas à aller voir si c'est vrai où si c'est faux, je ne vois pas vraiment pas ce qui fera voler les vaches le jours où j'aurais éventuellement initialisé que les poules ont des dents.

[hdci]

Je ne suis pas d'accord sur l'usage que tu fais du conditionnel (mais là on n'est plus dans les maths, mais dans le français).
L'usage du "si" avec l'imparfait, suivi par "alors" avec le conditionnel présent, cela revient à imaginer quelque chose qui n'existe pas en faisant une hypothèse sur le présent (source : http://la-conjugaison.nouvelobs.com/fle/emplois-du-conditionnel-81.php)

Mais je ne dis pas que cette source est officielle : ici il faudrait demander à un prof de français...

En ce qui me concerne, quand je dis "si je fais ceci, alors j'obtiens cela" exprime le fait que je ne sais pas si je fais ceci, mais dans l'hypothèse où je le fais, j'obtiens mon résultat.
Par contre "si je faisais ceci, alors j'obtiendrais cela" signifie clairement que je ne fais pas ceci, mais que si par hasard l'envie m'en prenait, ou exprime un souhait (qui dit souhait dit que ce n'est pas actuellement vrai)...

cf. la phrase "humoristique" "si j'aurai su j'aurais pas venu" pour parodier le mauvais usage : en langage correct c'est "si j'avais su je ne serais pas venu". Mais pas de bol, si j'avais su exprime clairement que je ne le savais pas...

[beagle]

lors de la récurrence je ne sais pas si j'ai vraiment n vrai, donc je le suppose vrai et on verra plus tard
si j'avais n j'aurais n+1

ben des fois j'ai jamais aucun n qui marche,
donc j'aurais jamais n+1 et les suivants

et des fois, tiens cela marche à partir de n sup égal 5

Bon ceci dit je suis encore plus mauvais en français qu'en maths.

mais revenons à démontrer, de n je sais passer à n+1, je le démontrer
de la poule à la vache je ne sais absolument pas démontrer
et c'est là le hic de l'implique démonstratif, non?

[hdci]

de la poule à la vache je ne sais absolument pas démontrer
et c'est là le hic de l'implique démonstratif, non?

Le hic c'est que pour démontrer, il faut partir d'un système d'axiomes, donc de propositions qu'on suppose vraie.

Si je dis "si les poules ont des dents, alors vaches volent" : on peut considérer que les poules n'ont pas de dent (axiome mathématique dans un monde abstrait ; ou vérification exhaustive faite sur l'ensemble des poules du mode, ou considération biologique en supposant qu'une mutation fait que l'animal n'est plus une poule) et l'hypothèse étant fausse l'implication est démontrée.

Au conditionnel, c'est complètement différent: "si les poules avaient des dents, les vaches voleraient" : qu'est-ce qu'on en sait puisque justement aucune poule n'a de dents ! Sauf à considérer que l'implication n'est pas un théorème, mais un axiome : et au contraire elle permet de démontrer que les poules n'ont pas de dent.

En résumé : c'est tout le problème du mélange entre le langage naturel / la sémantique, et le langage formel.

Tiens, c'est comme ce raisonnement en français : Soit A l'ensemble de tous les nombres entiers naturels qu'on peut exprimer avec quinze mots au plus.
Comme l'ensemble des mots de la langue française est fini, le nombre de combinaisons de 15 mots au plus est fini. Donc A est une partie finie de . Son complémentaire n'est pas vide, donc admet un plus petit élément.
Ce plus petit élément, c'est "le plus petit entier naturel ne pouvant pas s'exprimer avec quinze mots au plus"

Problème, il y a exactement 15 mots dans la phrase en italique, donc le plus petit entier naturel ne pouvant pas s'exprimer avec 15 mots au plus, justement on vient de l'exprimer avec 15 mots au plus. Belle contradiction, non ?

[beagle]

"Le hic c'est que pour démontrer, il faut partir d'un système d'axiomes, donc de propositions qu'on suppose vraie"
voilà pourquoi cela marchait bien sans aucun bug,
on n'utiilsait l'implique qu'avec du vrai., enfin du suppose vrai.
Seul truc on n'avait pas à le dire, vu qu'aucune personne n'aurait embarqué du si faux.

[hdci]

Aucune théorie ne marche sans un système d'axiomes initial.

Mais cela on ne l'enseigne pas vraiment aux collégiens : par exemple, "soit une droite dans le plan et un point extérieur à une droite : alors il ne passe qu'une seule parallèle à la droite en ce point" que tout le monde voit au collège (je ne sais plus en quelle classe)

C'est vrai dans la géométrie euclidienne (et c'est le 5ème axiome d'Euclide), mais ce n'est plus vrai dans la géométrie sphérique par exemple

Cet axiome permet de montrer que dans un triangle la somme des angles fait 180°. Mais ce n'est plus vrai en géométrie sphérique : partant du pôle nord, je descend de 10000km vers le sud, je tourne à angle droit vers l'est et je parcours 10000km, je tourne à angle droit vers le nord et je parcours 10000km : je suis revenu au pôle nord et j'ai un triangle avec 3 angles droits.

[beagle]

mais les acquis sont progressifs,
tout se construit sans avoir une rigueur absolue, sans attendre d'avoir cette rigueur.
Cardinalité et ordinalité c'est dès la maternelle.
On y enseigne donc Péano et la bijection, sans le dire, sans rigueur, …
mais ça marche

[hdci]

Tout à fait d'accord. La rigueur excessive empêche de comprendre comment ça marche (sauf pour les extra-terrestre tels que Gauss j'imagine).

Et dans le langage naturel quand on dit "je ferai cela quand les poules auront des dents", cela signifie bien qu'on ne le fera pas : finalement comme M. Jourdain et sa prose, on a fait une implication avec hypothèse fausse sans le savoir...

[Pseuda]

Bonsoir,

On n'a pas droit au "Si...., alors..... " ? Je ne comprends plus rien. Les livres de collège/lycée en sont émaillés, et c'est l'équivalent du implique dont on a droit si on l'utilise bien dans ce sens-là.

Ce que je trouve bizarre, c'est que l'équivalence ne nous pose aucun problème : "les poules ont des dents si et seulement si les vaches volent". Les 2 sont faux, bref, ça parait vrai.

Par contre, la phrase : "les poules ont des dents implique que les vaches volent" nous parait fausse. J'ai l'impression que c'est plus un problème de terme mal choisi. "Il est impliqué dans une affaire" veut dire "il a pris part à cette affaire". Il y a un lien de cause à effet. Là, il n'y a pas ce genre de lien (ce n'est pas parce que les poules n'ont pas de dents que les vaches ne volent pas). Quel terme pourrait mieux convenir ? Induire ? Sous-entendre ?

En fait dans notre imaginaire mental, on met un lien de cause à effet au implique, alors que mathématiquement il n'y en a pas. Mathématiquement, on est seulement en terme de "vrai/faux".