Racines rationnelles d'un polynôme.

[GaloisRIP]

Bonjour, je sais qu'il est possible de calculer les racines à coefficients rationnels d'un polynôme en utilisant le lemme de Gauss. Existe-il un moyen de trouver toutes les racines complexes à coefficients rationnels?

[Ben314]

Bonjour, je sais qu'il est possible de calculer les racines à coefficients rationnels d'un polynôme en utilisant le lemme de Gauss. Existe-il un moyen de trouver toutes les racines complexes à coefficients rationnels?

c'est sensé vouloir dire quoi le truc en rouge ?

et c'est quoi que tu appelle "le lemme de Gauss" ? : (Gauss, il a vécu longtemps et il a fait... beaucoup beaucoup de choses dans des tonnes de domaines...)

[Sake]

c'est sensé vouloir dire quoi le truc en rouge ?

et c'est quoi que tu appelle "le lemme de Gauss" ? : (Gauss, il a vécu longtemps et il a fait... beaucoup beaucoup de choses dans des tonnes de domaines...)

Peut-être ceci ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27alg%C3%A8bre

[GaloisRIP]

Je veux dire par là les nombres de la forme a+ib où a et b sont rationnels. Et par lemme de Gauss, j'entends que si p/ab et p^a=1 alors p/b.

[Ben314]

Je comprend absolument rien... à rien... de ce que tu raconte...

Comment tu fait avec ton lemme de Gauss pour déterminer par exemple les racines rationnelles d'un polynôme dont les coefficients ne sont pas entiers ?


Et je comprend pas ce que ça peut vouloir dire les "coefficients des racines" ????

[GaloisRIP]

Il est évidemment présupposé que le polynôme est à coefficients entier/rationnel. Dans le cas des racines rationnelles, si P(X)=a0+a1X+...+anX^n où tous les ai sont entiers, alors si p/q avec p^q=1 est une racine de P, alors en multipliant par q^n,tu as a0(q^n)+a1(q^n-1)(p^1)+...+an(p^n)=0
D'où tu déduis du lemme de Gauss q|an et p|a0, ce qui te permets d'avoir un nombre fini de racine à tester et tu peux programmer un algorithme qui les trouve toutes. Je me demandais si il y avait une méthode similaire pour trouver les racines du type a+ib où a et b sont rationnels.

[Ben314]

Bon, donc je vais commencer par une remarque lié à mon "plein le cul". (je suis désolé que ça tombe sur toi, vu que c'est on va dire "la goute d'eau qui fait déborder le vase")

An math, comme en français d'ailleurs, une phrase, c'est non seulement un ramassis de mots, mais je vais t'en apprendre une bien bonne, mais l'ordre dans lequel on écrit les mots a... une certaine influence sur le sens de la phrase.
Par exemple, "Y'a un lapin dans le clapier vert" n'a pas le même sens que "Y'a un lapin vert dans le clapier", ni que "Dans le vert y'a un lapin clapier" (étonnant non :mur:)

Donc si toi, quand tu lit ça :

Existe-il un moyen de trouver toutes les racines complexes à coefficients rationnels ?

Tu arrive à comprendre que ça veut dire "Existe-il un moyen de trouver les racines rationnelles complexes d'un polynôme à coefficients rationnels ?", tant mieux pour toi,
mais moi qui fait parti d'une autre génération, je n'ai absolument pas le réflexe de "mélanger" l'ordre des mots d'une phrase pour tenter de lui donner du sens.
Au mieux, je vais chercher sur wiki ce que peut signifier le mot "à coefficients..." lorsqu'il est placé après le mot "racines" (et, bizarrement, je trouve pas), et au pire, je me dit que c'est un domaine que je connais pas (vu que je comprend pas le vocabulaire) et je passe à autre chose.

[Ben314]

Sinon, concernant ta question (à laquelle j'aurais pu répondre dans les 15 secondes si j'en avais compris le sens).
Le résultat "Si a|bc et pgcd(a,c)=1 alors a|b" est valable dans tout anneau principal donc en particulier dans l'anneau des entiers de Gauss Z[i] donc on a exactement le même résultat concernant les polynômes de Z[i][X] et leur éventuelles racines dans Q[i] que celui concernant les polynômes de Z[X] et de leur éventuelles racines dans Q : il faut les chercher parmi l'ensemble (fini) des quotients p/q où p divise le terme constant du polynôme et q le coefficient du terme de plus haut degré.

[GaloisRIP]

Sinon, concernant ta question (à laquelle j'aurais pu répondre dans les 15 secondes si j'en avais compris le sens).
Le résultat "Si a|bc et pgcd(a,c)=1 alors a|b" est valable dans tout anneau principal donc en particulier dans l'anneau des entiers de Gauss Z[i] donc on a exactement le même résultat concernant les polynômes de Z[i][X] et leur éventuelles racines dans Q[i] que celui concernant les polynômes de Z[X] et de leur éventuelles racines dans Q : il faut les chercher parmi l'ensemble (fini) des quotients p/q où p divise le terme constant du polynôme et q le coefficient du terme de plus haut degré.

Je suppose que quand tu dis l'ensemble des quotients p/q, p et q sont des entiers de Gauss. Mais dans ce cas, comment connais-tu les diviseurs (dans l'anneau de Gauss) des coefficients du polynôme?

[Ben314]

Exactement comme dans Z, en cherchant la décomposition en nombre premier.
Ceux de Z[i] sont 1+i, ceux de la forme p où p est un nombre premier de Z congru à 3 modulo 4, et ceux de la forme a+ib, ou a-ib avec a²+b²=p premier de Z congru à 1 modulo 4.