Racines de polynome

[miwa]

Bonjour je fais un projet a propos des valeurs propres, je cherche a démontrer l'existence des racines du polynôme caractéristique, j'ai trouve que le théorème d'Alembert affirme leur existence sur C. J'ai aussi trouve qu'un polynôme a des racines si le corps sur lequel il se trouve est algébriquement clos, mais je n'ai pas trouve de demonstration. Connaissez vous une démonstration de ce théorème et y a-t-il d'autres cas pour lesquels ces polynomes existent ?
Merci d'avance !

[Nightmare]

Salut,

peux-tu énoncer exactement le théorème dont tu cherches une preuve? A première vu tu sembles te mélanger un peu les pinceaux sur les notions en question.

[miwa]

Salut,

peux-tu énoncer exactement le théorème dont tu cherches une preuve? A première vu tu sembles te mélanger un peu les pinceaux sur les notions en question.

Soit P(x) le polynôme caractéristique dont les coefficients sont dans K,
Si K est algébriquement clos ou s'il est égal au corps des nombres réels et que n est impaire alors u possède au moins une valeur propre.

[Nightmare]

Si K est algébriquement clos il n'y a rien à démontrer : c'est la définition même d'un corps algébriquement clos que d'avoir au moins une racine pour chaque polynôme.

Si K=R et que le polynôme est de degré impair, alors l'existence d'une racine est purement analytique et provient simplement du théorème des valeurs intermédiaires : Examine la limite du polynôme en -oo, la limite en +oo et conclus qu'il croise forcément 0.

[miwa]

Merci beaucoup,j'ai les idées plus claires maintenant ! :D