Racines de Polynome

[tamboura-hamza]

Bonjour, je cherche a savoir comment on peut montrer que 1 et -1 par exemple peuvent etre eux racine pour ce polynôme:

p(X)= X^6 - 4X^5 + X^4 + 8X^3 - 5X^2 -4X + 3

ps: ^ veut dire puissance

Merci infiniment.

[Lostounet]

Bonjour, je cherche a savoir comment on peut montrer que 1 et -1 par exemple peuvent etre eux racine pour ce polynôme:

p(X)= x^6 - 4x^5 + x^4 + 8x^3 - 5x^2 -4x + 3

ps: ^ veut dire puissance

Merci infiniment.

Une racine d'un polynôme est une valeur pour laquelle en remplaçant x par cette dernière, le polynôme s'annule.
Donc dans p(x),

Il faut remplacer x par 1 et (-1) simultanément.
Si p(x) devient nul, alors cette valeur en est une racine.

P.S: Je crains un topic mal placé :hein:

[tamboura-hamza]

c vrai merci mais donc c quoi leur ordre de multiplicité ? :mur:

[Lostounet]

Qu'entends-tu par cela ?

[Ben314]

Lorsque a est une racine du polynôme P(X), c'est à dire lorsque P(a)=0, cela signifie que l'on peut factoriser (X-a) dans P(X).
Si en fait dans P(X) on peut factoriser (X-a)² [ou (X-a)^3 ou ...] on dit que a est une racine d'ordre au moins 2 [ou au moins 3 ou ...]
Par exemple, si P(X)=(x-1)^3(X+2)^2 alors 1 est racine triple de P(X) et -2 est racine double de P(X).

Pour repérer si une racine a est racine double [ou triple ou...] on peut évidement mettre (X-a) en facteur et regarder si a est racine du deuxième facteur, mais on peut ausi utilise le fait que, comme
P(X)=P(a)+P'(a)(X-a)+P"(a)(X-a)²+...
on a :
a est racine (au moins simple) de P(X) ssi P(a)=0.
a est racine au moins double de P(X) ssi P(a)=P'(a)=0.
a est racine au moins triple de P(X) ssi P(a)=P'(a)=P"(a)=0
etc...

[Ericovitchi]

Et d'ailleurs c'est le cas puisque ton polynôme
X^6 - 4X^5 + X^4 + 8X^3 - 5X^2 -4X + 3 = (X-3) (X-1)³ (X+1)²

[tamboura-hamza]

Merciii infiniment !

[tamboura-hamza]

merci, mais je comprend pas comment ta pu la factoriser avec cet façon esque il existe une regle ou klk chose ?

[Ericovitchi]

Dès que tu sais que 1 est solution et que c'est une racine triple, tu sais que tu peux mettre (x-1)³ en facteur, idem pour (x+1)² avec -1 racine double, tu en déduis que ton polynôme est de la forme (X-1)³ (X+1)²(aX+b) = X^6 - 4X^5 + X^4 + 8X^3 - 5X^2 -4X + 3
Et pour avoir a et b, il suffit de remplacer X par des valeurs (comme 0)
qui donne -b=3, ou en égalant les deux facteurs X^6 tu vois que a=1

[tamboura-hamza]

merci Ericovitchi c gentil !