Racines de fonction

[the_pooh12]

Bonjour,

J'ai une question à vous poser :
On donne la fonction f(x) = 1/(1+x)² pour tout x réel.
J'ai montré que pour tout n entier naturel il existe un polynôme P_n de degré n tel que la dérivée nième de f soit :
f^(n) (x) = P_n(x) / (1+x²)^(n+1)
On me demande de montrer que P_n admet n racines réelles distinctes.

Voici ce que j'avais commencé :
Soient a_1 < a_2 ...... < a_n les n racines distinctes de P_n (donc les n racines de f^(n)).
En appliquant le théorème de séparation des racines, on trouve (n-1) racines entre a_1 et a_n pour la dérivée (n+1) ième de f.

Mais si on applique le théorème de Rolle à l'infini à la dérivée nième (c'est à dire sur le segment (]- infini ; + infini[ puisque x est un réel) on trouve qu'il y a n-1+2 donc n+1 racines pour la dérivée (n+1) ième de f...
(car il faut prendre aussi en compte ] - infini ; a_1 [ et ]a_n ; + infini[)
En fin de compte, la dérivée (n+1) ème de f, donc P_(n+1) admet n+1 racines.

En fait c'est une démonstration par récurrence que j'ai tenté.
Est-ce que c'est juste ? Est-ce que cela ne vous semble pas un peu cafouilleux ?

[Ben314]

Salut,
Sur le fond, c'est O.K. mais
1) Comme toute récurence que se respecte, il faut une amorce.
2) La façon dont tu explique l'existence de racine de la dérivées sur ]-oo,a1[ et sur ]a_n,+oo[ me semble un peu suucinte : je pense qu'il faudrait un peu expliquer comment on "généralise" le théorème de Rolles à un intervalle non borné (pour moi, la version "standard" de Rolles se place sur un intervalle fermé borné [a,b] : est il clair que ça marche encore sur un intervalle non borné ?)

[the_pooh12]

Oui biensûr il faut écrire proprement la récurrence, ce n'est qu'une idée que j'ai proposé ici.
Le théorème de Rolle se généralise à des intervalles infinis, je l'ai déjà démontré !

Merci de ta réponse, mais tu ne trouves pas bizarre de parler des racines entre les racines, puis de parler des racines sur les "bords de R" ?
Parce que c'est ça, moi, que je trouve rédigé un peu bizarrement... Je trouve que ça fait un peu répétition...

[Ben314]

Ben, perso, y'a rien qui me parait bizare.

En supposant que tu ait montré (généralisation de Rolles) que :
"Si g est continue dérivable sur ]a,b[ (ou a,b sont éventuellement infinis) et que les limites et existent et sont égales alors la dérivée g' s'anule au moins une fois sur ]a,b["

Alors il te suffit d'appliquer ce résultat à sur chacun des intervalles ]-oo,a1[ ; ]a1,a2[ ; ... ; ]an-1,an[ ; ]an,+oo[ pour en déduire que s'anule au moins n+1 fois sur R.

[the_pooh12]

oki merci bien !
Il ne me reste plus qu'à rédiger correctement la récurrence !