Racines cubiques

[SkullStudioM]

Bonjour à tous,

je travaille actuellement sur les racines cubiques et j'ai vu une sorte d'"astuce" pour pouvoir être sûr d'avoir les bons résultats qui est de vérifier géométriquement sur un cercle trigonométrique.

http://exo7.emath.fr/cours/cours-exo7.pdf

(je précise, à la page 50)

On voit que pour 1, on peut facilement faire un triangle équilatéral en partant de 1 justement !
Mon problème est que cherchant les racines cubiques de i je trouve :
exp(i*pi/6)
exp(i*5pi/6)
exp(i*3pi/2)

Et en prenant la "technique" du triangle équilatéral je tombe sur un triangle qui a pour sommet -i et non i ?!! donc je dois avoir fais des bétises quelque part... :hum:

Merci d'avance si vous avez la solution :we: sur ce bonne soirée.

[danyL]

Bonjour à tous,

je travaille actuellement sur les racines cubiques et j'ai vu une sorte d'"astuce" pour pouvoir être sûr d'avoir les bons résultats qui est de vérifier géométriquement sur un cercle trigonométrique.

http://exo7.emath.fr/cours/cours-exo7.pdf

(je précise, à la page 50)

On voit que pour 1, on peut facilement faire un triangle équilatéral en partant de 1 justement !
Mon problème est que cherchant les racines cubiques de i je trouve :
exp(i*pi/6)
exp(i*5pi/6)
exp(i*3pi/2)

Et en prenant la "technique" du triangle équilatéral je tombe sur un triangle qui a pour sommet -i et non i ?!! donc je dois avoir fais des bétises quelque part... :hum:

Merci d'avance si vous avez la solution :we: sur ce bonne soirée.

bsr
je ne me rappelle plus trop les calculs avec les complexes (dsl) mais à première vue tes calculs sont justes

si tu calcules exp(i*3pi/2) au cube tu dois bien retomber sur i

quelqu'un de plus calé sur le sujet peut confirmer ? :doh:

[Lostounet]

Pourquoi tu retombes sur un sommet i? Y'as pas de sommets i.

Tu as un sommet 3pi/2 --> -i
Un sommet pi/6 --> 30 degrés
5pi/6 = 150 degrés

[aymanemaysae]

Si a=r exp(i t) avec r>0 et t un réel , alors la racine nième de "a" est:
racinenième(r) * exp(i(t/n + 2kpi/n)) avec k appartenant à {0,1, ......, n-1} et n élément de N* ,
et comme on a : a = i = exp(i pi/2) alors la racine cubique de "i" est exp(i(pi/6+ 2kpi/3)) avec k = 0,1,2
donc on a exp(ipi/6), exp(i5pi/6) et exp(i9pi/6) = exp(i3pi/2) .

[MouLou]

donc pas d'inquiétude que i ne soit pas racine cubique de i .

Pourquoi voulais tu ca? a cause du fait que 1 est racine cubique de 1?

[Carpate]

Bonjour à tous,

je travaille actuellement sur les racines cubiques et j'ai vu une sorte d'"astuce" pour pouvoir être sûr d'avoir les bons résultats qui est de vérifier géométriquement sur un cercle trigonométrique.

http://exo7.emath.fr/cours/cours-exo7.pdf

(je précise, à la page 50)

On voit que pour 1, on peut facilement faire un triangle équilatéral en partant de 1 justement !
Mon problème est que cherchant les racines cubiques de i je trouve :
exp(i*pi/6)
exp(i*5pi/6)
exp(i*3pi/2)

Et en prenant la "technique" du triangle équilatéral je tombe sur un triangle qui a pour sommet -i et non i ?!! donc je dois avoir fais des bétises quelque part... :hum:

Merci d'avance si vous avez la solution :we: sur ce bonne soirée.

Si A,B,C sont les affixes respectifs de ,



Donc ABC équilatéral

[SkullStudioM]

Bonjour,

Merci pour toutes les réponses mais j'ai toujours le sentiment de ne pas avoir compris le fait que:
(pour 1 et -1 sur le lien page 50 on voit clairement que le triangle a un de ses sommets au point concerné, par exemple celui de 1 va prendre exp(0)=1 comme sommet.

Ici j'ai recommencé avec -i dont les racines sont :
exp(i*-pi/6)
exp(i*pi/2)
exp(i*7pi/6)

=> ce qui me donne un triangle dont un des sommets est pi/2 et non pas -pi/2 (je ne sais pas si je suis clair mais personne ne pas parler du triangle et de ses sommets)

si on cherche les racines cubiques de 1, on peut faire un triangle partant de 1 (logique)
si on fait pareil avec i, on devrait pouvoir faire un triangle en partant de pi/2 (logique encore)
mais je demande pourquoi avec i, le triangle que je trouve est inversé et part de -i ?? !

[MouLou]

Tous les arguments a base de "logique" sont souvent foireux, a part si tu fait le test du QI de TF1.

Qu'est ce qui te fait dire que tu fais un triangle équilateral?
Qu'est ce qui te fait croire que le point dont tu dois trouver les racines cubiques doit etre un sommet du triangle?

Raisonner par analogie (ou appelle ca comme tu veux) ca mene souvent à dire des betises, aussi souvent que ca mene a la bonne réponse helas (par exemple une seule des 2 réponses est correcte ici).

Le triangle vient du fait qu' en effet, on cherche racine cubique, donc on a envie de dire que cube 3, et donc on coupe le cercle en 3. Faut justifier cette intuition, ou du moins en etre convaincu. 2pi/3 angle d'un triangle équilateral, .

Cela te dit donc, que si tu multiplies un nombre par , son cube reste le même! Autrement dit, si tu le fais tourner de 2pi/3 sur le cercle, ca change rien au cube.
Donc, si tu à accès à une racine cubique particulière, tu les as toutes en faisant pivoter de 2pi/3 successivement. Et c'est la que tout ton raisonnement s'écroule. 1 était racine cubique de 1, mais i n'est pas racine cubique de i.

Est ce plus clair?

[SkullStudioM]

Tous les arguments a base de "logique" sont souvent foireux, a part si tu fait le test du QI de TF1.

Qu'est ce qui te fait dire que tu fais un triangle équilateral?
Qu'est ce qui te fait croire que le point dont tu dois trouver les racines cubiques doit etre un sommet du triangle?

Raisonner par analogie (ou appelle ca comme tu veux) ca mene souvent à dire des betises, aussi souvent que ca mene a la bonne réponse helas (par exemple une seule des 2 réponses est correcte ici).

Le triangle vient du fait qu' en effet, on cherche racine cubique, donc on a envie de dire que cube 3, et donc on coupe le cercle en 3. Faut justifier cette intuition, ou du moins en etre convaincu. 2pi/3 angle d'un triangle équilateral, .

Cela te dit donc, que si tu multiplies un nombre par , son cube reste le même! Autrement dit, si tu le fais tourner de 2pi/3 sur le cercle, ca change rien au cube.
Donc, si tu à accès à une racine cubique particulière, tu les as toutes en faisant pivoter de 2pi/3 successivement. Et c'est la que tout ton raisonnement s'écroule. 1 était racine cubique de 1, mais i n'est pas racine cubique de i.

Est ce plus clair?

Merci MouLou ! oui maintenant je comprends pourquoi la valeur exp(i*2pi/3) revient souvent et pourquoi mes "explications logiques" tombent à l'eau (mais je voulais en être sûr :p)

Merci de vos réponses et aurevoir.