Racine d'une fonction dans une intégrale

[Amoureux-des-Maths]

Voilà le sujet sur lequel je planche, je bloque sur la question II/1)c), si vous aviez une petite explication ce serait sympa. J'ai un peu du mal à voir le truc.

http://www.isup.upmc.fr/modules/resources/download/isup/annales/math1_2011.pdf

Normalement il devrait pas y avoir besoin de regarder le reste du sujet, cette question étant plutôt indépendante.

[Robic]

Normalement il devrait pas y avoir besoin de regarder le reste du sujet, cette question étant plutôt indépendante.

Vu qu'elle commence par « en déduire », c'est tout le contraire.

Du coup j'ai peur qu'il faille tout lire (la fonction phi est celle de la première partie, qu'il faut donc lire) et même tout faire afin de t'aider. Là j'ai pas le temps... N'hésite pas à bien détailler ce que tu as fait, ça peut faire gagner du temps à celui qui voudra t'aider.

[Amoureux-des-Maths]

Vu qu'elle commence par « en déduire », c'est tout le contraire.

En deduire de l'égalité du dessus qui est clairement écrite, j'aimerais juste savoir comment procéder il y a plein de trucs autour de la fonction donc je saisis pas l'information je pense.

[Robic]

Tu ne crois pas avoir besoin des propriétés de la fonction phi, puisque g est définie à partir de phi ?

Ce problème a l'air compliqué et je n'ai pas le temps de le refaire, mais voici une piste. C'est ce que m'inspire la question. C'est peut-être trop simple et ça ne marchera pas, mais c'est au cas où :

Notons I l'intégrale. On peut connaître son signe, puisque toutes les fonctions intégrées sont positives (en fait non : j'ai lu que phi est positive entre -1 et 1, mais je ne connais pas son signe au-delà - le connais-tu ?) sauf le sinus qui peut être positif ou négatif. Mais, entre kPi et (k+1)Pi, il ne peut être que l'un ou l'autre. Si je ne me trompe pas, l'intégrale sera positive pour k pair, négative pour k impair.

L'égalité de la question précédente peut se simplifier en fonction de la parité de k (les cosinus de kPi et (k+1)Pi valant +1 ou -1) :
- Si k est pair : g(kPi) + (g(k+1)Pi) = -I <=0. Donc g(kPi) <= -(g(k+1)Pi).
- Si k est impair : g(kPi) + (g(k+1)Pi) = I <=0. Donc idem.

Si phi est positive, g aussi, et l'inégalité trouvée prouve que... g change de signe. C'est une bonne chose pour prouver l'existence d'une racine, mais ça prouve surtout que je me suis planté : si g change de signe, phi aussi, donc je ne peux pas savoir quel est le signe de I...

Mais peut-être qu'il y a une partie de l'idée qui pourrait servir ? (Par exemple remplacer les cos(kPi) par des +1 et des -1.)

[Skullkid]

Bonsoir, les indications données par Robic sur le signe du sinus et la valeur des cosinus sont de bonnes pistes. Reste à se servir de ça pour simplifier encore l'égalité donnée à la question d'avant.

Un indice supplémentaire : tout réel peut s'écrire comme le produit de sa valeur absolue et de son signe (i.e. 1 ou -1).

[Amoureux-des-Maths]

Ah oui!! J'avais pas du tout pensé à ça suis-je bête!

Donc on fait deux cas, par exemple en prenant k=0, et on obtient que g passe forcément par 0, je crois que mon raisonnement par l'absurde marche.

. g>0 sur 0,pi => l'intégrale est positive et ce qu'il y a droite = -g(0) -g(pi) < 0 par positivité de g sur 0,pi, absurde.

. g<0 sur 0,pi => l'intégrale est négative et ce qu'il y a droite > 0 par négativité de g sur 0,pi, absurde.

Donc il existe un lambda dans 0,pi tq g(lambda) = 0.

Si c'est ça c'est vraiment tout con, en tout cas merci beaucoup de m'avoir aidé j'y vois tout de suite beaucoup plus clair! :)

Edit : c'est pour tout k donc on fait le même genre de raisonnement en prenant k positif (ou négatif ça revient au même vue que c'est x^2 dans l'intégral) et pair ou impair donc, distinction des deux cas, avec un raisonnement par l'absurde comme j'ai fait juste au-dessus pour le cas particulier. Vous me confirmez? :P

[Robic]

Je crois que ton raisonnement est juste. Et je m'en veux de ne pas y avoir pensé, je n'étais pas si loin... (mais bon, j'ai réfléchi rapidement).

[Amoureux-des-Maths]

Je crois que ton raisonnement est juste. Et je m'en veux de ne pas y avoir pensé, je n'étais pas si loin... (mais bon, j'ai réfléchi rapidement).

Ahah bah merci beaucoup, mais t'avais la piste, après tu prenais 5 minutes et tu l'avais je pense.