Racine n ième d'un réel négatif

[victen]

Bonjour, :help:

z^3=-8
z=;)(-8)=-;)(8)

Je ne sais pas comment m'y prendre pour la suite.. :hein:

Merci :zen:

[arnaud32]

il n'y a pas unicite des racine n-ieme
z^3 =-8 tu ecris r dans R+
tu as alors
tu en deduis que r=2 et

apres reste a savoir si tu veux resoudre ton eq dans R ou C ...

[victen]

ce qui implique z=8e^i;) ?

Je dois résoudre dans C ..

[victen]

La racine cubique de -8 est -2
Puis-je dire que c'est ne solution evidente ?

[arnaud32]

ce n'est vrai que dans R
dans C il y a 3 racines possibles

[victen]

3 racines possibles dont -2 ?
Comment trouver les 2 autres ?

[Black Jack]

La racine cubique de -8 est -2
Puis-je dire que c'est ne solution evidente ?

Oui victem, tu peux ...

z³ + 8 = 0

z=-2 est une racine évidente et donc z³+8 est factorisable par (z+2)
Soit, on sait faire une division euclidienne de polynomes ... ou alors on fait ainsi (puisque on connait une solution) :

z³ + 8
= z³ + 2z² - 2z² - 4z + 4z + 8
= z²(z+2) - 2z(z+2) + 4(z+2)
= (z+2).(z² - 2z + 4)

factorisation de (z² - 2z + 4) ...

*****
Mais cette méthode va cesser de "bien marcher" pour des équations de degré plus élevé, par exemple pour z^7 + 128 = 0 par exemple.

alors que la méthode (classique) proposée par arnaud32 va encore fonctionner.

:zen:

[victen]

Oui nous avons appris à faire les divisions euclidiennes de polynômes !
mais en obtenant z^3+8=(z-2)(z² - 2z + 4) je cherche les racines de (z² - 2z + 4) et je trouve z=1+(ou-)i ;)3

Les solutions sont donc -2, 1+i ;)3, 1-i;)3 ?

[Black Jack]

Oui nous avons appris à faire les divisions euclidiennes de polynômes !
mais en obtenant z^3+8=(z-2)(z² - 2z + 4) je cherche les racines de (z² - 2z + 4) et je trouve z=1+(ou-)i 3

Les solutions sont donc -2, 1+i 3, 1-i;)3 ?

Oui.

:zen:

[victen]

Merci !! Bonne soirée ! ;)